2021高考数学一轮复习课后限时集训29平面向量的概念及线性运算理北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训29平面向量的概念及线性运算理北师大版

课后限时集训29‎ 平面向量的概念及线性运算 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=‎ ‎(  )‎ A. B. C. D. A [由题意得+=(+)+(+)=(+)=.]‎ ‎2.(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点,=-4,则=‎ ‎(  )‎ A.- B.+ C.- D.+ B [设=x+y,由=-4可得,‎ +=-4-4,‎ 即--3=-4x-4y,则解得 即=+,故选B.]‎ ‎3.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为(  )‎ A.1 B.- C.1或- D.-1或- B [由于c与d共线反向,则存在实数k使 c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].‎ 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.‎ 由于a,b不共线,所以有 7‎ 整理得2λ2-λ-1=0,‎ 解得λ=1或λ=-.‎ 又因为k<0,‎ 所以λ<0,故λ=-.]‎ ‎4.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量=(  )‎ A.a+b B.-a-b C.-a+b D.a-b C [由△CEF∽△ABF,且E是CD的中点得= ‎=,则==(+)‎ ‎==-a+b,故选C.]‎ ‎5.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于(  )‎ A.1 B. ‎ C. D. D [∵=+=+,‎ ‎∴2=+,即=+.‎ 故λ+μ=+=.]‎ ‎6.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则(  )‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 7‎ B [因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.]‎ ‎7.(2019·西安调研)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且=,=,AC,MN交于点P.若=λ,则λ的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. D [∵=,=,‎ ‎∴=λ=λ(+)=λ ‎=λ+λ.‎ ‎∵点M,N,P三点共线,‎ ‎∴λ+λ=1,则λ=.故选D.]‎ 二、填空题 ‎8.若=,=(λ+1),则λ=________.‎ ‎- [如图,由=,可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则=-,结合题意可得λ+1=-,所以λ=-.‎ ‎]‎ ‎9.(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________.‎ ‎- [由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.‎ 又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,‎ 所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)‎ ‎=(3-k)e1-(2k+1)e2,‎ 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,‎ 又因为e1与e2 不共线,‎ 所以解得k=-.]‎ 7‎ ‎10.下列命题正确的是________.(填序号)‎ ‎①向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λa;‎ ‎②在△ABC中,++=0;‎ ‎③只有方向相同或相反的向量是平行向量;‎ ‎④若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.‎ ‎④ [易知①②③错误.‎ ‎∵向量a与b不共线,∴向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.‎ 若a+b与a-b共线,则存在实数λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,∴此时λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.]‎ ‎1.如图所示,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ C [法一:∵与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,∴由=λ+μ,两边平方得3=λ2-λμ+μ2,①‎ 由=λ+μ,两边同乘得=λ-,两边平方得=λ2-λμ+,②‎ ‎①-②得=.根据题图知μ>0,∴μ=1.代入=λ-得λ=2,∴λ+μ=3.故选C.‎ 法二:建系如图:‎ 由题意可知A(1,0),C,B,‎ ‎∵=λ(1,0)+μ=.‎ ‎∵∴μ=1,λ=2.∴λ+μ=3.]‎ ‎2.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(  )‎ A.3 B.4‎ 7‎ C.5 D.6‎ B [如图,∵D为AB的中点,则=(+),又++2=0,‎ ‎∴=-,∴O为CD的中点,‎ 又∵D为AB中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.]‎ ‎3.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,则实数m的值为________.‎  [由N是OD的中点,得=+ ‎=+(+)=+,‎ 又因为A,N,E三点共线,‎ 故=λ,‎ 即m+=λ,‎ 又与不共线,‎ 所以解得故实数m=.]‎ ‎4.在等腰梯形ABCD中, =2,点E是线段BC的中点,若=λ+μ,则λ=________,μ=________.‎   [取AB的中点F,连接CF,则由题可得CF∥AD,且CF=AD.‎ ‎∵=+=+=+(-)=+=+,∴λ=,μ=.]‎ ‎1.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(  )‎ 7‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B [作∠BAC的平分线AD.‎ 因为=+λ,‎ 所以=λ ‎=λ′·(λ′∈[0,+∞)),‎ 所以=·,‎ 所以∥,所以P的轨迹一定通过△ABC的内心,‎ 故选B.]‎ ‎2.如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),则+的最小值为________.‎  [=+=+,‎ =-=-+,‎ 设=λ=-+λ(0≤λ≤1),‎ 则=+=+λ.‎ 因为=m+n,‎ 所以m=1-,n=λ.‎ 所以+=+= 7‎ ‎= ‎≥=.‎ 当且仅当3(λ+4)=,‎ 即(λ+4)2=时取等号.]‎ 7‎
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