【数学】2019届一轮复习人教A版　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 考点2　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ 考点3　函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 ‎[必会结论]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法：‎ ‎(1)五点法：用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．‎ ‎(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”)．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)‎ ‎(3)把y＝sinx的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sinωx的图象，则ω的值为.(　　)‎ ‎(4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)‎ ‎(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√‎ ‎2．[2018·柳州模拟]若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 答案　B 解析　由图象可知，＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.‎ ‎3．[2016·全国卷Ⅰ]将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案　D 解析　函数y＝2sin的周期为π，所以将函数y＝2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y＝‎ ‎2sin＝2sin.故选D.‎ ‎4．[2018·西安模拟]已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)‎ A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 答案　D 解析　＝π得ω＝2，函数f(x)的对称轴满足2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝.选D.‎ ‎5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)‎ A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 答案　B 解析　由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4＝2π＝，解得ω＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，由题图知＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝2sin.‎ ‎6．[2018·海南模拟]把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)‎ A．y＝cos2x B．y＝－sin2x C．y＝sin D．y＝sin 答案　A 解析　由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移个单位得y＝sin，即y＝cos2x.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　三角函数的图象变换 例　1　将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案　C 解析　将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin.故选C.‎ 触类旁通 两种图象变换的区别 由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．‎ ‎【变式训练1】　将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 答案　D 解析　y＝cosy＝cosy＝cos，即y＝cos.‎ 由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝时，y＝cos＝1.故选D.‎ 考向　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例　2　[2016·全国卷Ⅱ]函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案　A 解析　由题图知A＝2，＝－＝，则T＝π，所以ω＝2，则y＝2sin(2x＋φ)，‎ 因为题图经过点，所以2sin＝2，‎ ＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z.‎ 当k＝0时，φ＝－，所以y＝2sin.故选A.‎ 触类旁通 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．‎ ‎【变式训练2】　已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.‎ 答案　 解析　由函数图象，知＝－，所以T＝，即＝，所以ω＝2.结合图象可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.又由图象过点(0,1)，代入得Atan＝1，所以A＝1.所以函数的解析式为f(x)＝tan，所以f＝tan＝.‎ 考向　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 命题角度1　函数图象与性质的综合应用 例　3　[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　D 解析　由图象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，m∈Z，所以函数f(x)＝cos＝cos的单调递减区间为2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，即2k－0，ω>0)的性质 ‎(1)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．‎ ‎(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.‎ ‎(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调递减区间．‎ ‎(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得对称中心的横坐标．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．‎ 核心规律 ‎1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质求解析式时，若最大值与最小值对应的自变量为x1，x2，则＝|x1－x2|min.通过代入解析式点的坐标解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．‎ 满分策略 ‎1.在三角函数的平移变换中，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|.‎ ‎2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0对称，则ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即过函数图象的最高点或最低点，且与x轴垂直的直线为其对称轴．‎ ‎3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)成中心对称，则ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)，即函数图象与x轴的交点是其对称中心.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列5——异名三角函数的图象变换技巧 ‎[2017·全国卷Ⅰ]已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2‎ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解题视点　解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sinx＝cos和cosx＝sin将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程．‎ 解析　首先利用诱导公式化异名为同名．‎ y＝sin＝cos＝cos＝cos，‎ 由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos的图象，需将y＝cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度．故选D.‎ 答案　D 答题启示　三角函数图象变换 ‎(1)伸缩变换：将y＝sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，可得到y＝sin的图象；将y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，可得到y＝Asinx的图象．‎ ‎(2)平移变换：函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则，但是要注意平移量是指自变量x的变化量．‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 ‎[2018·合肥二检]为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象(　　)‎ A．向左平移单位长度 B．向右平移单位长度 C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度 答案　C 解析　由题意，得y＝cos＝sin＝sin，则它是由y＝sin2x向左平移个单位得到的．故选C.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案　C 解析　∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sinx的图象，只需将y＝sin的图象向左平移个单位即可．‎ ‎2．[2018·沧州模拟]若ω＞0，函数y＝cos的图象向右平移 个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为(　　)‎ A. B. C．3 D．4‎ 答案　C 解析　将y＝cos的图象向右平移个单位后为y＝cos＝cos，所以有＝2kπ，即ω＝3k，k∈Z，又ω>0，所以k≥1，故ω＝3k≥3.故选C.‎ ‎3．[2018·临沂模拟]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f＝－，则f＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由题干图知，函数f(x)的周期T＝2＝，所以f＝f＝f＝－.‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　B 解析　y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin，则由＋φ＝＋kπ(k∈Z)，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.故选B.‎ ‎5．[2018·广东茂名一模]如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题中函数图象可知：A＝2，‎ 由于函数图象过点(0，)，‎ 所以2sinφ＝，即sinφ＝，由于|φ|＜，‎ 所以φ＝，‎ 则有f(x)＝2sin.‎ 由2x＋＝kπ，k∈Z可解得x＝－，k∈Z，‎ 故f(x)的图象的对称中心是，k∈Z，‎ 则f(x)的图象的一个对称中心是.故选B.‎ ‎6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.‎ 答案　20.5‎ 解析　依题意知，a＝＝23，A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos，‎ 当x＝10时，‎ y＝23＋5cos＝20.5.‎ ‎7．[2018·南宁模拟]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f(x)＝________.‎ 答案　cos 解析　由图象得：T＝4×2＝8，‎ ‎∴ω＝＝，‎ 代入(－1,1)，得cos＝1，‎ ‎∴－＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又∵0≤φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝cos.‎ ‎8．[2014·重庆高考]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.‎ 答案　 解析　把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.‎ ‎9．[2018·长春调研]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．‎ 解　(1)由题中图象得A＝1，＝－＝，‎ 所以T＝2π，则ω＝1.‎ 将点代入得sin＝1，‎ 又－＜φ＜，所以φ＝，‎ 因此函数f(x)＝sin.‎ ‎(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，‎ 所以－1≤sin≤，‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ ‎10．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由T＝2知＝2得ω＝π.‎ 又因为当x＝时f(x)max＝2，知A＝2.‎ 且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴f(x)＝2sin＝2sin，‎ 故f(x)＝2sin.‎ ‎(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝k＋(k∈Z)．‎ 由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，知k＝5.‎ 故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　B 解析　y＝cos2x＝sin，由y＝sin 得到y＝sin，只需向右平移个单位长度．‎ ‎2．[2018·郑州模拟]将函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)‎ A．最大值为1，图象关于直线x＝对称 B．在上单调递减，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点对称 答案　B 解析　由题意得，g(x)＝－cos2＝－cos＝－sin2x.最大值为1，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，显然g(x)是奇函数，故B正确；当x∈时，2x∈，此时不满足g(x)单调递增，也不满足g(x)是偶函数，故C错误；周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称，故D错误．故选B.‎ ‎3．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝－φ＝，又0＜φ＜，故φ＝.选D.‎ ‎4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 由－≤φ＜得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ 综上，ω＝2，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin，‎ 当x∈时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大＝；‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－.‎ ‎5．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝ ‎，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎