2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第2讲 集合、不等式、常用逻辑用语 练典型习题 提数学素养

2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第2讲 集合、不等式、常用逻辑用语 练典型习题 提数学素养

一、选择题 ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－∞，1)　　　　　　 B．(－2，1)‎ C．(－3，－1) D．(3，＋∞)‎ 解析：选A.A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．‎ 故选A.‎ ‎2．命题“∀x>0，ln x≥1－”的否定是(　　)‎ A．∃x0≤0，ln x0≥1－ B．∃x0≤0，ln x0<1－ C．∃x0>0，ln x0≥1－ D．∃x0>0，ln x0<1－ 解析：选D.若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，綈p(x0)．所以“∀x>0，ln x≥1－”的否定是∃x0>0，ln x0<1－，故选D.‎ ‎3.(2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为(　　)‎ A．{3} B．{7}‎ C．{3，7} D．{1，3，5}‎ 解析：选B.由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B.‎ ‎4．(2019·广西钦州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是(　　)‎ A．15 B．12‎ C．5 D．3‎ 解析：选C.因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.‎ ‎5．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a2＜－ab B．|a|＜|b|‎ C．＞ D．＞ 解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，＜，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以－＝＞0，所以＞一定成立，故选C.‎ 优解：因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以＞一定成立，故选C.‎ ‎6．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，‎ 即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，‎ 所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.‎ 故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．‎ 反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．‎ 所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.‎ ‎7．下列命题错误的是(　　)‎ A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”‎ C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：选C.若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．‎ ‎8．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)‎ C．[－1，1] D．[0，＋∞)‎ 解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，‎ 当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．‎ 法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，‎ 当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；‎ 当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.‎ 综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.‎ ‎9．(一题多解)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ C．(－∞，－)∪(2，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(，＋∞)‎ 解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.‎ 法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.‎ ‎10．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A⊗B＝x－1，则x的取值范围为(　　)‎ A．[1－，1] B．[1，1＋]‎ C．[1－，1] D．[1，1＋]‎ 解析：选B.由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，得A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则化简，得由①，得1－≤x≤1＋.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋，则x的取值范围为[1，1＋]．故选B.‎ ‎11．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．M∩N＝N ‎ B．M∩(∁UN)≠∅‎ C．M∪N＝U ‎ D．M⊆(∁UN)‎ 解析：选AB.由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⃘(∁UN)，故选AB.‎ ‎12．(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式正确的是(　　)‎ A．a＜b B．－c＞－c C．＞ D．ac2＜bc2‎ 解析：选ABC.因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC.‎ ‎13．(多选)下列命题正确的是(　　)‎ A．已知a，b都是正数，且＞，则a＜b B．已知f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，f′(x)≥0，则f(1)＜f(2)一定成立 C．命题“∃x∈R，使得x2－2x＋1＜0”的否定是真命题 D．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件 解析：选AC.A.已知a，b都是正数，由＞，得ab＋b＞ab＋a，则a＜b，正确；B.若f(x)是常数函数，则f(1)＜f(2)不成立；C.命题“∃x∈R，使得x2－2x＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；D.“x≤1且y≤1”⇒“x＋y≤2”，反之不成立，则“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充分不必要条件．‎ 二、填空题 ‎14．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4.‎ 答案：(0，4)‎ ‎15．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．‎ ‎①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；‎ ‎②命题p：∀x>0，x3>0，那么綈p：∃x0>0，x≤0；‎ ‎③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；‎ ‎④△ABC中，若AB>AC，则sin C>sin B.‎ 解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，綈p：∃x0>0，x≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知矛盾，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．‎ 答案：①②③④‎ ‎16．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．‎ 解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝，该集合中共有3个元素．‎ 法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：‎ b a ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．‎ 答案：3‎ ‎17．(2019·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________．‎ 解析：由不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.‎ 所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1，0]．　‎ 令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1，0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，　‎ 则t≤－2.‎ 答案：4　(－∞，－2]‎ ‎ ‎