2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第2章　第7节　函数的图像

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第2章　第7节　函数的图像

第七节　函数的图像 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．‎ ‎(对应学生用书第24页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．利用描点法作函数的图像 方法步骤：(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)化简函数的解析式；‎ ‎(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；‎ ‎(4)描点连线．‎ ‎2．利用图像变换法作函数的图像 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；‎ ‎③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)的图像y＝logax(a＞0且a≠1)的图像．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图像 y＝f(ax)的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像 y＝af(x)的图像．‎ ‎(4)翻转变换 ‎①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．‎ ‎[知识拓展]　函数对称的重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．‎ 其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．(　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)函数f(x)＝－x的图像关于(　　)‎ A．y轴对称　　　　　 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 C　[∵f(x)＝－x是奇函数，∴图像关于原点对称．]‎ ‎3．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)‎ A．ex＋1 B．ex－1‎ C．e－x＋1 D．e－x－1‎ D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝则f(x)的图像为(　　)‎ A　[由题意知函数f(x)在R上是增函数，当x＝1时，f(x)＝1，当x＝0时，f(x)＝0，故选A．]‎ ‎5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(0，＋∞)　[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图像，如图所示．由图像知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]‎ ‎(对应学生用书第25页)‎ 作函数的图像 ‎　作出下列函数的图像：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎[解]　(1)先作出y＝的图像，保留y＝图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图像，如图(1)实线部分．‎ ‎(1)　　　　　　(2)‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图(2)．‎ ‎(3)∵y＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)．‎ ‎(3)　 　　　　　(4)‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图(4)．‎ ‎[规律方法]　函数图像的常用画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像.‎ (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像.‎ (3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出.‎ 易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎[跟踪训练]　作出下列函数的图像：‎ ‎(1)y＝eln x；(2)y＝log2|x－1|. ‎ ‎【导学号：79140055】‎ ‎[解]　(1)因为函数的定义域为{x|x＞0}，‎ 且y＝eln x＝x，所以其图像如图所示．‎ ‎(2)作y＝log2|x|的图像，再将图像向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1|的图像．‎ 识图与辨图 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图像大致为(　　)‎ ‎ ‎ ‎ (2)函数f(x)＝的图像如图271所示，则下列结论成立的是(　　)‎ 图271‎ A．a＞0，b＞0，c＜0‎ B．a＜0，b＞0，c＞0‎ C．a＜0，b＞0，c＜0‎ D．a＜0，b＜0，c＜0‎ ‎(1)D　(2)C　[(1)当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B．‎ 当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C．‎ 故选D．‎ ‎(2)函数定义域为{x|x≠－c}，‎ 结合图像知－c＞0，∴c＜0.‎ 令x＝0，得f(0)＝，又由图像知f(0)＞0，∴b＞0.‎ 令f(x)＝0，得x＝－，结合图像知－＞0，∴a＜0.‎ 故选C．]‎ ‎[规律方法]　已知函数解析式选图，从函数的下列性质考虑 ‎ [跟踪训练]　(1)(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图像大致为(　　)‎ ‎(2)(2017·北京海淀区期末)函数y＝f(x)的图像如图272所示，则f(x)的解析式可以为(　　)‎ 图272‎ A．f(x)＝－x2‎ B．f(x)＝－x3‎ C．f(x)＝－ex D．f(x)＝－ln x ‎(1)D　(2)C　[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B．设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D．‎ ‎(2)由函数图像知，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，A中，∵f(－1)＝－2，f(－2)＝－＜f(－1)，不满足题意；B中，f ‎(－1)＝0，不满足题意；C中，易知函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；D中函数的定义域为(0，＋∞)，不满足题意，故选C．]‎ 函数图像的应用 ‎◎角度1　研究函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) ‎ C　[将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，‎ 观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]‎ ‎◎角度2　求参数的值或取值范围 ‎　已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．　　　　　　 B． C．(1,2) D．(2，＋∞)‎ B　[f(x)＝如图，‎ 作出f(x)的图像，其中A(2,1)，则kOA＝.‎ 要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图像有两个交点，由图可知，＜k＜1.]‎ ‎◎角度3　求不等式的解集 ‎　(1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　) ‎ ‎【导学号：79140056】‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)‎ ‎(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)‎ A． B． C．(1，) D．(，2)‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为 ‎＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图像如图所示．‎ 所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图像，可知f＜g，即2＜loga ，则a＞，所以a的取值范围为.‎ ‎]‎ ‎[规律方法]　函数图像应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：‎ ‎①根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值.‎ ‎②从图像的对称性，分析函数的奇偶性.‎ ‎③从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.‎ ‎④从图像与x轴的交点情况，分析函数的零点等.‎ (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解.‎ (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)如图273，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)‎ 图273‎ A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}‎ C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}‎ ‎(2)(2017·武汉六中模拟)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)C　(2)[－1，＋∞)　[(1)作出函数y＝log2(x＋1)的图像，如图所示：‎ 其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图像的交点为D(1,1)，由图像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．‎ ‎(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.‎ ‎]‎