2020学年高二数学4月竞赛试题（含解析）

2020学年高二数学4月竞赛试题（含解析）

‎2019学年高二数学4月竞赛试题（含解析）‎ 一、解答题 ‎1. 求的值.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.‎ 试题解析：‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2. 在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.‎ 试题解析：‎ 连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 由，所以.‎ ‎3. 设的三边长分别为，面积为，证明：.‎ - 6 -‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎.........‎ 试题解析：‎ ‎4. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？‎ ‎【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.‎ 试题解析：‎ 假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，‎ 整理变形，得.‎ 故是以为公比的等比数列，所以，‎ 欲使，应有，‎ 故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.‎ ‎5. 过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点 - 6 -‎ ‎，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.‎ 试题解析：‎ 设点，直线方程为，则 由，得 ‎ 所以，，‎ 因直线与直线垂直，故有，得 又直线与圆相切，所以 所以，从而 由，得点 因点在圆上，‎ 所以有 化简，得 即 再进一步利用韦达定理整理上式消去，得 从而，故有.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ - 6 -‎ ‎6. 设为三角形中的三边长，且，求证：.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形 的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.‎ 试题解析：‎ 记，则 又为的三边长，所以，，，‎ 所以.‎ 另一方面，‎ 由于，所以，又 所以 不妨设，且为的三边长，所以.‎ 令，则 - 6 -‎ 所以 从而 当且仅当时取等号.‎ ‎7. 已知椭圆过点，两个焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得：，则椭圆的方程为 ‎（2）设，直线方程为，‎ ‎，得：‎ 由韦达定理：，，‎ 由题意可知，即 ‎∴‎ 即 - 6 -‎ ‎∴或 当时，直线方程恒过定点 当时，直线方程恒过定点与点重合，‎ 不合题意舍去，‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 6 -‎