数学理卷·2017届广东省高三上学期阶段性测评（一）（2016

数学理卷·2017届广东省高三上学期阶段性测评（一）（2016

‎ ‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设函数，则的值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3.若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎4.在区间上随机选取两个数和，则的概率为（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎5.已知命题：；命题.则下列命题中的真命题为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知向量满足，分别是线段的中点，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知双曲线的左、右焦点分别为，且为抛物线 的焦点，设点为两曲线的一个公共点，若的面积为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若，则的最小值为（ ）‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ ‎10.若，则的值为（ ）‎ A． B． C.253 D．126‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.函数的最小正周期为，当时，至少有12个零点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.复数在复平面内的对应点是，则 ．‎ ‎14.定积分的值为 ．‎ ‎15.定义在上的奇函数满足，当时，，则等于 ．‎ ‎16.将一块边长为的正方形纸片，先按如图（1）‎ 所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，内角所对的边分别是，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设等差数列的公差为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：‎ ‎（Ⅰ）试确定图中与的值；‎ ‎（Ⅱ）规定等级D为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生 成绩的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥中，，底面为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 椭圆的左、右焦点分别为.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆过点，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，且的面积为，求椭圆的方程.‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）‎ 理科数学参考答案及评分参考 一、选择题 ‎1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD 解析：‎ ‎1.C 【解析】，∴.‎ ‎2.C 【解析】.‎ ‎3.D 【解析】的最小值为.‎ ‎4.A 【解析】的概率为.‎ ‎5.B 【解析】，∴为真命题.‎ 当时，，，，‎ ‎∴，∴为假命题，∴为真命题.‎ ‎6.C 【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，.‎ ‎∴该球的表面积为.‎ ‎7.B 【解析】，∴.‎ ‎∴，，∴与的夹角为.‎ ‎8.A 【解析】设点为第一象限点，且，，∴，‎ ‎，∴，∴，故双曲线方程为.‎ ‎9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数的函数值，‎ 如图可知，当或时符合题意，∴.‎ ‎10.C 【解析】令，得，，∴.‎ ‎11.D 【解析】不妨设，∵，∴，又，‎ ‎∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.‎ ‎12.D 【解析】由题知，∴.‎ 由周期性可知，∴.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎【解析】‎ ‎13.，∴.‎ ‎14.，由几何意义得，又.‎ ‎∴.‎ ‎15.∵，∴且，时，，‎ ‎∴.‎ ‎16.由正视图为正三角形可知，图（1）中，∴，‎ ‎∴正三角形的边长为，.‎ ‎∴四棱锥的体积为.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：，∴.……………………5分 ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴.……………………………………………………………………10分 ‎18.解：（Ⅰ）由题可得：‎ ‎，解得.‎ ‎∴.………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴. ①‎ ‎∴.②‎ 得：‎ ‎.‎ ‎.……12分 ‎19.解：（Ⅰ）；……………………4分 ‎（Ⅱ）记表示事件“甲校国学成绩等级为A“，则；表示事件“甲校国学成绩等级为B”，则；‎ ‎20.（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴.………………………………5分 ‎（Ⅱ）平面且交于，，‎ ‎∴，则可建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 又，为正三角形，‎ ‎∴，.‎ 设为平面的法向量，则，‎ ‎∴，∴，‎ 取，则为平面的一个法向量，‎ 又为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 则二面角的余弦值为.……………………………………12分 ‎21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 两边同除以得，，‎ 解得.………………………………5分 ‎（Ⅱ）由已知得，‎ 把直线代入椭圆方程，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，面积为：‎ ‎，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴.‎ 故所求椭圆的方程为.……………………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎（1）当时，成立，故成立，在上为增函数；‎ ‎（2）当时，，令，得.‎ 显然，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 当时，，，为增函数，‎ 综上，当时，在上为增函数，‎ 当时，在，上为增函数，‎ 在上为减函数.…………………………5分 ‎（Ⅱ）显然，由可知：‎ 当时，，故成立；‎ 当时，.‎ 令，得.‎ 显然，‎ 当时，为减函数，‎ 当时，，，为减函数；‎ 若，则，当时，为增函数，故成立；‎ 若，则，由在上为减函数可知，当时，为减函数，‎ 与题意不符，舍去.‎ 综上，的取值范围是.‎