新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十六） 圆锥曲线的定义、方程与性质

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十六） 圆锥曲线的定义、方程与性质

第 18 页 共 18 页 新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十六） ‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 椭圆的定义及标准方程·T10‎ 椭圆、抛物线的标准方程·T8‎ 双曲线的标准方程、几何性质·T10‎ 双曲线的几何性质·T16‎ 圆、双曲线的标准方程与几何性质·T11‎ 椭圆的标准方程及定义·T15‎ ‎2018‎ 直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8‎ 双曲线的几何性质·T5‎ 双曲线的几何性质·T11‎ 双曲线的几何性质·T11‎ 直线的方程及椭圆的几何性质·T12‎ 直线与抛物线的位置关系·T16‎ ‎2017‎ 直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10‎ 双曲线的几何性质·T9‎ 双曲线的渐近线及标准方程·T5‎ 双曲线的几何性质·T15‎ ‎(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．‎ ‎(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题位置，一般难度较大．‎ ‎[例1]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1　　　B.＋＝‎1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 第 18 页 共 18 页 ‎(3)(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)‎ A.x±y＝0 B.x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D.2x±y＝0‎ ‎[解析]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝‎4a.∵ |AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴ |AB|＝|BF1|＝|AF2|，‎ ‎∴ |AF1|＋3|AF2|＝‎4a.又∵ |AF1|＋|AF2|＝‎2a，∴ |AF1|＝|AF2|＝a，∴ 点A是椭圆的短轴端点，如图．‎ 不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)， ＝2，得B.‎ 由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴ 椭圆C的方程为＋＝1.故选B.‎ ‎(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.‎ 由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.‎ ‎(3)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝‎2a.‎ 又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，解得|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a，又|F‎1F2|＝‎2c，则|PF2|＝‎2a最小，所以∠PF‎1F2＝30°.‎ 在△PF‎1F2中，由余弦定理，可得cos 30°＝＝＝，‎ 整理得c2＋‎3a2＝‎2ac，解得c＝a，所以b＝＝a.‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选A.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)D　(3)A ‎[解题方略]‎ ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝‎2a(‎2a＞|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝‎2a(‎2a＜|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．‎ ‎[注意]　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程的思路 定型 就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程 计算 即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，‎ 第 18 页 共 18 页 双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．‎ 此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.‎ ‎2．(2019·福州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝‎1 C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选D　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，∴＝.①又||＝ ＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②‎ 由①②可得，a2＝4，b2＝6，∴双曲线C的方程为－＝1.故选D.‎ ‎3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．‎ 解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P，则P(x0，±6)．‎ 因为P到抛物线焦点F的距离为10，根据抛物线的定义得x0＋＝10.①‎ 因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，‎ 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝36x. 答案：y2＝4x或y2＝36x ‎[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF‎1F2为等腰三角形，∠F‎1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 第 18 页 共 18 页 ‎(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝， ·＝0，则C的离心率为________．‎ ‎(3)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为，△AOB的面积为2，则p＝________．‎ ‎[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F‎1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F‎1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.故选D.‎ ‎(2)因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．如图①，由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝ ＝2.‎ ∵ ·＝0，∴ ∠F1BF2＝90°.‎ 在Rt△F1BF2中，O为F‎1F2的中点，∴ |OF2|＝|OB|＝c.如图②，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴ |BH|＝b，|OH|＝a，‎ ‎∴ B(a，－b)，F2(c，0)．‎ 又∵ ＝，∴ A为F1B的中点．∴ OA∥F2B，∴ ＝，∴ c＝‎2a，∴ 离心率e＝＝2.‎ ‎(3)不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为，得1＋＝e2＝5，解得＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±2x.又抛物线的准线方程为x＝－，则交点的坐标为A，B，所以|AB|＝2p.由△AOB的面积为2，得|AB|·＝2，即×2p×＝2，解得p＝2.[答案]　(1)D　(2)2　(3)2‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．‎ ‎2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，‎ 第 18 页 共 18 页 分解因式可得．(2)用法：①可得或的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B.y＝±x C．y＝±x D.y＝±x 解析：选A　∵e＝＝＝，∴a2＋b2＝‎3a2，∴b＝a.∴渐近线方程为y＝±x.故选A.‎ ‎2．(2019·济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·＝0，＝2，则椭圆E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设|BF2|＝m，则|AF2|＝‎2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|＝‎2a－‎2m，|BF1|＝‎2a－m.由·＝0知AF1⊥AF2，故在Rt △ABF1中，(‎2a－‎2m)2＋(‎3m)2＝(‎2a－m)2，整理可得m＝.故在Rt△AF‎1F2中，|AF1|＝，|AF2|＝，故＋＝‎4c2，解得e＝.故选C.‎ ‎3．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.＋1 B.＋‎1 ‎‎ C.＋1 D.＋2‎ 解析：选A　抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为(c，0)，∴p＝‎2c.∵点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x＝c代入双曲线方程得到A，将A的坐标代入抛物线方程得＝2pc，∴＝‎4c2，∴c2－2ca－a2＝0，∴e2－2e－1＝0，∵e>1，∴e＝＋1.故选A.‎ ‎4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F‎1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．‎ 解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立解得即M.因为点M在以线段F‎1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故＋0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．‎ ‎2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论 直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．‎ 题型二　直线与圆锥曲线的弦长 ‎[例4]　(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.‎ ‎[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.‎ 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.‎ 第 18 页 共 18 页 所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0.‎ 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.‎ ‎[解题方略]　直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝·＝·＝ ·|y1－y2|＝ ·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝ 求之．‎ ‎[多练强化]1．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F‎1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围．‎ 解：(1)因为以F‎1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，‎ 所以b＝c＝1，即a＝ ＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，即M.‎ 所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，‎ 设点P(xP，yP)，令y＝0，得xP＝－.因为xP∈，所以0＜k2＜ ‎.|AB|＝ ＝ ‎＝＝. 因为0＜k2＜，所以＜1＋＜2，即＜|AB|＜2.‎ 故线段AB长度的取值范围是.‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，‎ 第 18 页 共 18 页 B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．‎ 解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.‎ 整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，‎ y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝× ＝2(t2＋1)．‎ 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝ .‎ 因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.‎ 因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.‎ 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.‎ 数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解 ‎[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若＝2，且直线l与圆O：x2＋y2＝相切于点N，求|MN|.‎ ‎[解]　(1)由题意知得(a2－4)(‎4a2－3)＝0，又a2＝3＋b2＞3，故a2＝4，则b2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(m，0)，直线l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.‎ 由得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，‎ 第 18 页 共 18 页 所以＝－2，化简得(m2－4)(t2＋4)＝－8t‎2m2‎.易知原点O到直线l的距离d＝，‎ 又直线l与圆O：x2＋y2＝相切，所以＝，即t2＝m2－1.由 得‎21m4－‎16m2‎－16＝0，即(‎3m2‎－4)(‎7m2‎＋4)＝0，解得m2＝，此时t2＝，满足Δ＞0，‎ 所以M.在Rt△OMN中，|MN|＝ ＝.‎ ‎[素养通路]‎ 本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M，A，B的坐标及直线l的方程x＝ty＋m，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m与t的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M的坐标进而得|MN|.考查了数学运算这一核心素养．‎ A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1．(2019·济南模拟)已知双曲线－＝1的一个焦点F的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为 A．y＝±x　　　　　　　　 B.y＝±x C．y＝±x D.y＝±x ‎2．已知抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)‎ A.＋2 B.＋1‎ C.－2 D.－1‎ ‎3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)‎ A. B. C.2 D.3 ‎4．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)‎ A. B. 第 18 页 共 18 页 C．2 D. ‎5．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)‎ A. B. C. D.3‎ ‎6．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若＝3，则k＝(　　)‎ A.1 B.2‎ C. D. 二、填空题 ‎7．已知P(1，)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是________．‎ ‎8．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF‎1F2＝45°，则△AF‎1F2的面积为________．‎ ‎9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且＝3，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p＝________．‎ 三、解答题 ‎10．(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．‎ 第 18 页 共 18 页 ‎11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．‎ ‎12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝‎4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．‎ B组——大题专攻强化练 ‎1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．‎ ‎(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.‎ 证明：直线AN与抛物线相切．‎ 第 18 页 共 18 页 ‎2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2，1)，且右焦点F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝·，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．‎ ‎3.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，‎ 第 18 页 共 18 页 且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．‎ ‎1解析：选A　易知c＝5，故m＝16，故双曲线方程为－＝1，将1换为0得－＝0，即渐近线方程为y＝±x.故选A.‎ ‎2解析：选D　抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，则d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝＝，所以d1＋d2的最小值是－1.故选D.‎ ‎3解析：选A　不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.故选A.‎ ‎4解析：选A　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.‎ ‎5解析：选A　如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝‎2a，|AF1|＋|AF2|＝‎2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以 第 18 页 共 18 页 eq f(|AF1|,|AF2|)＝.故选A.‎ ‎6解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝t，所以＋＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝.故选D.‎ ‎7解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则＝，所以离心率e＝＝ ＝ ＝2.答案：2‎ ‎8解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F‎1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.‎ ‎∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F‎1F2|2－2|AF1|·|F‎1F2|cos 45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，‎ 解得|AF1|＝.∴△AF‎1F2的面积S＝×2××＝.答案： ‎9解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1⊥l于点B1，设直线AB与l的交点为D，‎ 由抛物线的定义及性质可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，|EF|＝p.‎ 设|BD|＝m，|BF|＝n，则＝＝＝，即＝，∴m＝2n.‎ 又＝，∴＝＝，∴n＝，∴|DF|＝m＋n＝2p，∴∠ADA1＝30°.‎ 又|AA1|＝3n＝2p，|EF|＝p，∴|A1D|＝2p，|ED|＝p，∴|A1E|＝p，‎ ‎∴直角梯形AA1EF的面积为(2p＋p)·p＝6，解得p＝2.答案：2‎ ‎10解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.‎ 所以，椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，‎ 又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，‎ 可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，进而直线OP的斜率为＝.‎ 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.‎ 由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.‎ 所以，直线PB的斜率为或－.‎ 第 18 页 共 18 页 ‎11解：(1)已知M(m，9)到焦点F的距离为10，则点M到抛物线准线的距离为10.‎ 因为抛物线的准线方程为y＝－，所以9＋＝10，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)由已知可判定直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0，1)，所以l：y＝kx＋1.‎ 设A，B，由消去y得，x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.‎ 由于抛物线C也是函数y＝x2的图象，且y′＝x，则PA：y－＝x1(x－x1)．‎ 令y＝0，解得x＝x1，所以P，从而|AP|＝ .同理可得，|BQ|＝ ，‎ 所以|AP|·|BQ|＝ ＝ ‎＝2.因为k2≥0，所以|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞)．‎ ‎12解：(1)设椭圆C的焦距为‎2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F‎1F2＝2，c＝1.‎ 又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝ ＝ ＝.‎ 因此‎2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.‎ 将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．‎ 又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，‎ 解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－.因此B.‎ 又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，‎ 解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.‎ 因此E.‎ 由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝‎2a，EF1＋EF2＝‎2a，‎ 所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F‎2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，‎ 从而EF1∥F‎2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．‎ 因为F1(－1，0)，由得y＝±.‎ 第 18 页 共 18 页 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.‎ ‎1解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p.又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.‎ ‎(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，由消去y得，x2－2kpx－p2＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中A，B.∴M，N.‎ ‎∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，即y＝，∴y′＝.‎ ‎∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．‎ ‎2解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1，a2>3.‎ 又椭圆过点M(－2，1)，∴＋＝1，又a2>3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，‎ ‎∵点N(1，0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴ 则t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)·(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)·(kx2－k－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5, ③‎ 将①②代入③得，t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，‎ ‎∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，‎ ‎∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，‎ ‎∴t1＋t2＝.‎ ‎3解：(1)由已知|AB|＝|BF|，得 ＝a，即‎4a2＋4b2＝‎5a2，‎4a2＋4(a2－c2)＝‎5a2，‎ 所以e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＝4b2，所以椭圆C的方程可化为＋＝1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1，可得＋＝0，‎ 第 18 页 共 18 页 即＋＝0，‎ 即＋(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2，所以直线l的方程为y－＝2，‎ 即2x－y＋2＝0.联立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0.‎ 则Δ＝322＋16×17×(b2－4)>0⇔b>，x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为OP⊥OQ， ·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，‎ 从而－＋4＝0，解得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0，椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎4解法一：(1)设P(x，y)，依题意x>0，F(1，0)．因为P在圆F外，即P到圆F上的点的最小距离为|PF|－1.‎ 依题意得|PF|－1＝x，即－1＝x，化简得E的方程为y2＝4x(x>0)．‎ ‎(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，舍去．‎ 当直线AB的斜率存在时，如图，在平面直角坐标系中，‎ 设N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.因为Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝，‎ 所以y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1)＝，故D.由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝.‎ 设M(xM，yM)，依题意得yM＝，所以|MD|＝－xM.又|MD|＝，所以－xM＝＋2，‎ 解得xM＝－1，所以M.因为N在抛物线上，所以x0＝，即N，‎ 所以S△AMB＝|MD||y1－y2|＝|y1－y2|，S△AMN＝|MN||y1－yD|＝|MN|×|y1－y2|＝|y1－y2|.‎ 故S△AMB＝4S△AMN.‎ 法二：(1)设P(x，y)，依题意x>0.因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|－1.‎ 依题意得，点P到F(1，0)的距离|PF|等于P到直线x＝－1的距离．‎ 所以P在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，所以E的方程为y2＝4x(x>0)．‎ ‎(2)证明：如图，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 第 18 页 共 18 页 因为直线AB过F(1，0)，依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．由得y2－4ty－4＝0.‎ 因为Δ＝16t2＋16>0，所以y1＋y2＝4t.所以x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2.‎ 因为D是AB的中点，所以D(2t2＋1，2t)．由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝4t2＋4.‎ 设与圆D相切于M，且平行于y轴的直线为l：x＝m，因为DM与抛物线相交于N，所以m<0，且DM⊥l，‎ 又|DM|＝|AB|，所以2t2＋1－m＝(4t2＋4)，解得m＝－1.‎ 设N(x0，y0)，则y0＝2t，所以(2t)2＝4x0，所以x0＝t2，‎ 因为＝t2，所以N为DM的中点，所以S△AMD＝2S△AMN.‎ 又D为AB的中点，所以S△AMB＝2S△AMD，所以S△AMB＝4S△AMN.‎