河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学（解析版）

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学（解析版）

‎2017~2018学年度上学期高三年级一调考试 数学（理科）试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）‎ ‎1．设集合．若，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1．答案：C 解析：由题意可知，将代入，得，所以，‎ 即，解得或，所以 ‎2．已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A．‎ B．0‎ C．‎ D．2‎ ‎2．答案：D 解析：设，则，所以，故 ‎3．执行如图所示的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（ ）‎ A．5‎ B．4‎ C．3‎ D．2‎ ‎3．答案：D 解析：是是否 输出，结束，所以正整数的最小值为2．‎ ‎ 4．已知点，点为平面区域上的一个动点，则的最小值是（ ）‎ A． 5‎ B．3‎ C．‎ D．‎ ‎4．答案：C 解析：作可行域如图所示，则的最小值为点到直线的距离，‎ ‎5．已知的三个内角依次成等差数列，边上的中线，则（ ）‎ A．3‎ B．‎ C．‎ D．6‎ ‎5．答案：C 解析：因为成等差数列，所以，又因为，所以，‎ 在中，由余弦定理可得，即 ‎，所以，所以，故，‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）‎ A．3‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．答案：A 解析：该几何体的直观图如图所示，则 所以最长的棱为3‎ ‎7．已知数列满足，则（ ）‎ A．0‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．答案：B 解析：解法1：，周期，所以 解法2：设，则，‎ ‎，所以，所以数列是一个首项为0，公差为的等差数列，，所以 ‎8．已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．答案：B 解析：当时，，根据题意可得 ‎，所以，‎ 解得：，所以，所以，又因为，所以，所以 ‎9．设函数，其中．若，且的最小正周期大于，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9．答案：D 解析：根据题意，所以，又因为，所以，当时，‎ ‎，又因为，所以 ‎10．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．答案：C 解析：函数为偶函数，且在上单调递增，，所以 ‎，所以，所以，所以 ‎11．已知函数的图像的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．答案：B 解析：，的对称轴为，所以，所以，令 ‎，得，所以当时，取得极大值1，当时，取得极小值，要想使有三个零点，则必须，解得 ‎12．定义在内的函数满足：①当时，；②（为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数的值是（ ）‎ A．1‎ B．‎ C．或3‎ D．1或2‎ ‎12．答案：D 解析：在区间上，当时，取得极大值1，极大值点为，当时，，，所以在区间上，当，即时，取得极大值，极大值点为，当时，，所以，所以在区间上，当，即时，取得极大值，所以极大值点为，根据题意，，，三点共线，所以，解得或2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图，正方形中，分别是的中点，若，则 ．‎ ‎13．答案：‎ 解析：不妨设正方形边长为2，以为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则，‎ ‎，因为，所以，‎ 所以，解得 ‎ ‎ ‎14．已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 ．‎ ‎14．答案：‎ 解析：设，则，即，设，则，且，所以函数是一个单调递减函数，不等式等价于 ‎，所以，即，解得 ‎15．已知数列的前项和为，，且成等比数列，成等差数列，则等于 ．‎ ‎15．答案：‎ 解析：由题意可得，因为，所以，所以，故数列为等差数列，又由， ，可得；，可得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，‎ 故，故，‎ 所以 ‎16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，‎ 若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16．答案：或 解析：由可得，所以或，画出的图像，当时，因为，所以该方程有4个根；因为关于的方程有且仅有6个不同的实数根，所以 有两个根，由图可知，实数的取值范围是：或 三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考试必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎17．解：（1）由及正弦定理可得：‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，，，又因为，所以 ‎（2）‎ 由，可得，所以，从而，‎ 因此，‎ 故的取值范围是 ‎18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．‎ ‎（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？‎ ‎（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．‎ 参考数据：若，则 ‎18．解：因为语文成绩服从正态分布，所以语文成绩特别优秀的概率为 ‎，‎ 数学成绩特别优秀的概率为 所以语文成绩特别优秀的同学有（人），‎ 数学特别优秀的同学有（人）……………………（5分）‎ ‎（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，的所有可能取值为 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形中，分别为的中点，现把平行四边形沿折起，如图②所示，连接 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（1）证明：由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，且 ‎，取的中点，连接，则是等边三角形，所以，同理可得．又因为，所以平面，又因为平面，所以．…………………………（5分）‎ ‎（2）由已知得，所以，故，分别以 的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得 ‎．设平面的法向量，‎ ‎，，令，得 ‎，所以的法向量．‎ 设平面的法向量，，‎ 由，令，得，‎ 所以平面的法向量，‎ 于是．‎ 因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 ‎20．（本小题满分12分）已知曲线在点处的切线方程是．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的最大值．‎ ‎20．解：（1），由，可得……（4分）‎ ‎（2）由对任意恒成立，即恒成立，令 ‎，则，‎ 显然单调递增，且有唯一零点，‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，所以，‎ 所以，故的最大值为1………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数（为常数，）．‎ ‎（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎21．解：（1）当时，，所以，又，即切点为，所以切线方程为，即．……（3分）‎ ‎（2），依题意，，即，因为 ‎，所以，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以．…………（6分）‎ ‎（3），‎ 因为，所以，即，所以在上单调递增，所以．‎ 问题等价于对任意的，不等式恒成立，‎ 设，‎ 则，又，所以在右侧需先单调递增，所以，即．‎ 当时，设，其对称轴为，又，开口向上，且，所以在内，，即，所以在内单调递增，，即．‎ 于是，对任意的，总存在，使不等式成立．‎ 综上可知，…………………………（12分）‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为 ‎（为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎22．解：（1）将化为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为．‎ 由消去解得，‎ 所以直线的普通方程为……………………（5分）‎ ‎（2）把代入，整理得，设其两根为，则 ‎，所以………………（10分）‎ 方法2，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，‎ 所以………………（10分）‎ 方法3，将代入，化简得：，由韦达定理得：‎ ‎，‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎23．解：（1）由，得，所以，即，解得：‎ ‎，所以原不等式的解集为 ‎（2）因为对任意，都有，使得成立，所以 ‎，又，当且仅当时取等号，，所以，‎ 解得：或，所以实数的取值范围是