山西省大同市2020届高三上学期第一次联合考试数学（理）试题

山西省大同市2020届高三上学期第一次联合考试数学（理）试题

大同市2020届高三年级第一次联合考试（市直）‎ 数学（理）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,再根据交集的概念进行运算可得.‎ ‎【详解】因为函数的值域为所以,‎ 又集合,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.‎ ‎2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．‎ ‎【详解】由题意，对应点为，在第二象限．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．‎ ‎3.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向左平移个单位长度后，可得函数y＝sin（2x）＝cos2x的图象．‎ 令2x＝kπ，求得x，k∈Z．‎ 令k＝0，可得x，故所得图象的一个对称中心为（，0），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎4.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.‎ ‎【详解】由题意及图，，‎ 又，，所以，∴（1﹣m），‎ 又t，所以，解得m，t，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.‎ ‎5.函数的图象大致为（　　　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.‎ ‎【详解】因为 ,‎ 所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;‎ 因为,故排除,‎ 因为由图象知,排除.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了根据函数性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.‎ ‎6.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.‎ ‎【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和 也相切，故,‎ 化简得到,只需要满足 ‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】求切线方程的方法：‎ ‎①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；‎ ‎②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.‎ ‎7.已知定义域为的奇函数满足，且当时,，则（　　 ）‎ A. B. 2 C. -2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数以及,推出函数为周期为3的周期函数,再根据周期为3,得,又由奇函数可得,然后代表达式可得.‎ ‎【详解】因为函数为奇函数,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 所以的周期为3,‎ 所以,‎ 又时,,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,属于中档题.‎ ‎8.已知,,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的单调性即可求出．‎ ‎【详解】a，b，c，‎ 则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257‎ c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，‎ 又b70＝514＝（57）2＝（78125）2‎ c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，‎ ‎∴a＞b＞c，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的大小比较，掌握幂函数的单调性是关键，属于基础题 ‎9.已知正实数满足，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 9 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由m+n（m+n）（），展开后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】正实数m，m满足4，‎ 则m+n（m+n）（）（5），‎ 当且仅当且4，即m，n时取得最小值，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．‎ ‎10.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：满足题意时，取到2红1白或者2白1‎ 红，据此可得，记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎11.已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题中为等腰三角形，可知只需即可，也就是，即,由,转化可得．故本题答案选A.‎ 考点：双曲线的几何性质与标准方程．‎ ‎12.已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）＝f（x）﹣x2‎ ‎﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．‎ ‎【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，‎ 则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，‎ ‎∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．‎ ‎∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，‎ ‎∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，‎ ‎∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．‎ f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），‎ ‎∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），‎ ‎∴|2m|＜|m﹣1|，‎ 化为：3m2+2m﹣1＜0，‎ 解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用单调性解不等式.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题,，则是_____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由特称命题的否定直接写出结论即可.‎ ‎【详解】由题命题p否定为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查特称命题，熟记特称与全称命题的否定是关键，是基础题，易错点是改为 ‎14.已知两个单位向量满足，则的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.‎ ‎【详解】因为,是单位向量,所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积和向量夹角公式,属于基础题.‎ ‎15.设数列的前项和，，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用时,变形,然后构造等比数列,可求得.‎ ‎【详解】当时,,所以,‎ 当时,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为时,,且,‎ 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了利用数列的递推关系式求数列的通项公式,构造法,属于中档题.‎ ‎16.已知函数若的两个零点分别为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，‎ 所以令得：，‎ 所以直线和曲线 的交点横坐标，‎ 直线和曲线的交点横坐标为，‎ 如图，两曲线关于对称，直线和关于对称；‎ 所以；‎ 所以。‎ 考点：函数的零点问题。‎ 点睛：本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及知识函数与对数函数的图象与性质，函数零点的概念，两条直线的位置关系等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中正确作出函数的图象是解答问题的关键。‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分 ‎17.在中，分别为角的对边，‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，从而计算出.‎ ‎（2）由正弦定理将表示成，再化简整理得答案。‎ ‎【详解】解：（1），‎ 则，‎ 则，‎ 因为 ，所以， ‎ 因为，所以 ‎ ‎（2）由，得 ‎，其中. ‎ 由，得，∴的最大值为1，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正余弦定理和解三角形问题，解题的关键是掌握基本的三角公式，属于一般题。‎ ‎18.如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明及，即可证明：平面，问题得证。‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，由（1）得为平面的法向量，求得平面的法向量为，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，‎ 所以，‎ 又平面平面，且平面平面，‎ 所以平面.‎ 又平面，所以，‎ 因为为中点，且为等边三角形，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，‎ 因为平面平面，所以平面，‎ 所以，由，，‎ 可知，所以.‎ 以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 所以，，，，，‎ 所以，，‎ 由（1）知，为平面的法向量，‎ 因为为的中点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 取，则.‎ 所以 .‎ 因为二面角为钝角，‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎19.新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上、下学期，物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取.‎ ‎（1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是，求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率；‎ ‎（2）据预测，要想报考该211院校的相关院系，省会考的成绩至少在90分以上，才有可能被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩，考到90分以上概率都是，设该生在省会考时考到90分以上的科目数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1) (2) 分布列见解析；数学期望2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先用对立事件求得该生英语等级考试成绩不为优的概率为,再根据独立事件的概率公式可得.‎ ‎(2)利用二项分布的概率公式可得分布列,利用期望公式计算可得.‎ ‎【详解】（1）记该生“英语等级考试成绩为优”为事件，概率为，则该生“英语等级考试成绩不为优”为事件，概率为，则该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率为.‎ ‎（2）解法一 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎.‎ 解法二 依题意得，‎ 所以，.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了对立事件的概率公式,相互独立事件的概率公式,‎ 二项分布的分布列和期望公式,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又 解得 ‎∴椭圆方程为 ‎（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，‎ 则的周长为，又（为三角形内切圆半径），‎ ‎∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.‎ 设直线的方程为：，，则 消去得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令，则，∴‎ 令，‎ 当时，，‎ 在上单调递增，‎ ‎∴，当时取等号，‎ 即当时，的面积最大值为3，‎ 结合，得的最大值为，‎ ‎∴内切圆面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（Ⅰ）依据题设条件先求导，再分类讨论探求；（Ⅱ）借助题设条件，运用等价转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：‎ 解（Ⅰ）的定义域为，.‎ 当时，则，所以在上单调递增.‎ 当时，则由得，，（舍去）.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述，当时，在上单调递增.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值.‎ ‎.‎ 由题设得.‎ 又，所以 ‎.设，则，则.‎ 令，则，所以上单调递增，所以，故.‎ 又因为，因此，即.‎ 又由知在上单调递减，所以，即.‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题。在求解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将问题进行等价化归与转化为计算的值的符号与单调性问题。然后再运用换元法构造函数，运用导数的有关知识分析推证，最后使得问题获解。‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设点分别为曲线与曲线上任意一点，求的最大值；‎ ‎（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】(1)7；(2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将曲线和都化成普通方程后,可知的最大值是圆心距加上两个圆的半径;‎ ‎(2) 将直线参数方程代入中后,利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长,代入已知,可解得斜率,再由点斜式可得直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由得，所以曲线的普通方程为，圆心，半径.‎ 曲线的直角坐标方程为，圆心，半径.‎ ‎∴.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入中，得，‎ 整理得，‎ ‎∴.‎ 设两点对应的参数分别为，则，.‎ 由及参数的几何意义，‎ 得，‎ 解得，满足，所以,‎ ‎∴直线的斜率为或,‎ 由点斜式得或,‎ ‎∴直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程,直线参数方程的几何意义,直线的点斜式方程,属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分3段解不等式后,结果求并集可得;‎ ‎(2)转化为在和上都恒成立可得.‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得，无解；‎ 当时，由，得.‎ 综上，的解集为.‎ ‎（2）等价于.‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 则有，，得.‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴对任意的恒成立，‎ ‎∴得.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式在闭区间上恒成立问题,属于中档题.‎ ‎ ‎