高中数学讲义微专题91 复数

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高中数学讲义微专题91 复数

微专题 91 复数 一、基础知识: 复数题目通常在高考中有所涉及,题目不难,通常是复数的四则运算 1、复数 的代数形 式为 ,其中 称为 的实部, 称为 的虚部(而不是 ), 2、几类特殊的复数: (1)纯虚数: 例如: , 等 (2)实数: 3、复数的运算:设 (1) (2) (3) 注:乘法运算可以把 理解为字母,进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式, 另一方面要计算 (4) 注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式是 ,所以不 允许分母带有 ,那么利用平方差公式及 的特点分子分母同时乘以 的共轭复数即可。 4、共轭复数: , 对于 而言,实部相同,虚部相反 5、复数的模: ( ) 6、两个复数相等:实部虚部对应相等 7、复平面:我们知道实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,每一个复数 都与平面直角坐标系上的点 一一对应,将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部, 横轴称为实轴,纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点: (1)在处理复数问题时,一定要先把复数化简为标准形式,即 (2)在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如:平方差公式,立方和差 公式,二项式定理等 二、典型例题 z  ,z a bi a b R   a z b z bi 0, 0a b  5i i 0b   1 2, , , ,z a bi z c di a b c d R     2 1i      1 2z z a c b d i            2 1 2z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i             i 2 1i            1 2 2 2 a bi c di ac bd bc ad iz a bi z c di c di c di c d            ,z a bi a b R   i 2 1i  2z z a bi  z 2 2z a b  2z z z  2 2z z  ,a bi a b R   ,a b  ,z a bi a b R   例 1:若复数 ,其中 是虚数单位,则复数 的模为( ) A. B. C. D. 2 思路:需要求复数的模,那首先要化成标准形式 ,进行化简,目前需要处理的就是 分式,化简再求模即可 解: 答案:A 例 2: 已知复数 ,则 ( ) A. B. C. D. 思路:本题可直接带入计算,也可考虑先化简再求值 解: 答案:B 例 3: 设 是虚数单位,且 ,则实数 等于( ) A. B. C. D. 思路:等号左边 ,若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同 乘 ,然后利用复数相等的性质求出 值 解: 答案:D 小炼有话说: (1) 的指数幂呈周期性变化(周期为 4)即 .故可依照周 期性的想法,将 的较高指数幂进行降次。 (2)对于呈分式形式的复数等式,一般两种处理方法:一是对分式本身进行化简,二是利用 等式性质进行“去分母”(尤其是分母形式较复杂时) 22 1z i i   i z 2 2 2 3 z a bi       2 122 2 2 1 11 1 1 iz i i i i ii i i            2z  1z i  2 2 1 z z z   2i 2i 2 2 2 22 2 1 1 1 11 21 1 1 z z z z z i iz z z i                i 2014 1 i ki ki   k 2 0 1 1 2014 2 1i i    1ki  k 2014 1 11 1 i k i ki ki k iki ki            1k   i 4 1 4 2 4 3 4, 1, , 1n n n ni i i i i i        i 例 4:复数 ,在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象 限 D.第四象限 思路:将复数化为标准形式后再进行判断。 解: 在复平面上对应的点为 ,所以在第三象限 答案:C 例 5:(2013 天津河东一模,1)若 是纯虚数,则实数 的值是( ) A. B. C. D. 2 思路:涉及到纯虚数的概念,所以首先把 化成标准形式,再根据纯虚数的定义即可求出 解: 由纯虚数可得 答案:C 例 6: 若复数 是纯虚数,则实数 的值是( ) A. B. C. 或 D. 思路:纯虚数:实部为零且虚部不为零,所以要将 满足的条件写全 解: 复数 是纯虚数 答案:B 例 7: 已知复数 , 是 的共轭复数,则 ( ) A. B. C. D. 思路:想到 ,进而只需将 化为标准形式后求模即可 解: , 答案:A 3 2 1 iz i i   2 ( 1) 1 21 iz i i i ii           1, 2  1 a iz i   a 1 0 1 z a        1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a i i a a ia i a az ii i i              1 0 12 a a       2 3 2 1a a a i    a 1 2 1 2 1 a     2 3 2 1a a a i    2 3 2 0 2 1 0 a a a a          2 3 1 3 iz i   z z z z  1 4 1 2 1 2 2z z z  z  2 3 21 3 i iz i     2 1 4z  例 8:设 ( 是虚数单位),则 的值是____________ 思路:利用等式性质两边同时乘以 ,进而可对照实部虚部求出 解: 答案: 例 9:设 是复数, (其中 表示 的共轭复数),已知 的实部是 ,则 的虚部是___________ 思路: 要通过 来确定,所以考虑用待定系数法设 ,再参与运算 解: 设 的虚部是 1 答案:1 例 10:已知复数 满足 ( 是虚数单位),复数 的虚部为 ,且 是实数,则 ____________ 解:设 , (目的:为了更加便于计算) 由于 是实数,所以 答案: 11 7, , 1 2 ia b R a bi i     i a b  1 2i ,a b   11 7 1 2 11 71 2 ia bi a bi i ii            2 11 52 2 11 7 2 7 3 a b aa b b a i i b a b                 8a b   8a b  1z 2 1 1z z iz  1z 1z 2z 1 2z 2z 1z 1z a bi  1z a bi     2 1 1z z iz a bi i a bi a b b a i           1a b    2z 1z   1 2 1 1z i i    i 2z 2 1 2z z 2z  2 2z a i  1 2z x yi     1 2 1 1z i i          1 1 1x yi i i x y x y i i           0, 1x y    1 2z i        1 2 2 2 2 2 4z z i a i a a i          1 2z z 4a  2 4 2z i   2 4 2z i 
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