2021高考数学一轮复习课后限时集训71离散型随机变量的均值与方差正态分布理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训71离散型随机变量的均值与方差正态分布理北师大版

课后限时集训71‎ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是(　　)‎ A．1　 B．2‎ C．　 D． A　[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，‎ ‎∴X～B，∴EX＝4×＝1.故选A.]‎ ‎2．(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝(　　)‎ A．0.4 B．0.8 ‎ C．0.6 D．0.2‎ B　[由正态分布的图像和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]‎ ‎3．已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x y 若Eξ＝，则Dξ＝(　　)‎ A．1 B． ‎ C． D．2‎ B　[∵Eξ＝，∴由随机变量ξ的分布列知， ‎∴则Dξ＝2×＋2×＋2×＋2×＝.]‎ ‎4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝(　　)‎ A．3 B． ‎ 8‎ C. D．4‎ B　[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，则Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故选B.]‎ ‎5．甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：‎ 则以下判断正确的是(　　)‎ A．甲、乙两厂生产都出现异常 B．甲、乙两厂生产都正常 C．甲厂生产正常，乙厂出现异常 D．甲厂生产出现异常，乙厂正常 D　[由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值EX＝2，则P(X＝2)等于________．‎ 　[由X～B，EX＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C24＝.]‎ ‎7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～‎25.4 kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4)‎ ‎0．818 5　[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.‎ ‎∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]‎ 8‎ ‎8．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．‎ 　[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，‎ ‎∴P(ξ＞95)＝，‎ 故所求概率P＝C4＝.]‎ 三、解答题 ‎9．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：‎ 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎(1)若将频率作为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)‎ ‎(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，‎ 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg .‎ 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：‎ 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg)‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎24‎ 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？‎ ‎(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望EX.‎ ‎[解]　(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)＝＝，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～B(4，)，所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X＝2)＝C()2()2＝.‎ ‎(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为 Eξ＝16×＋18×＋22×＋24× ‎＝＝20.6，‎ 因为Eξ>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．‎ 8‎ ‎(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)求这4 000名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；‎ ‎(2)认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？‎ ‎(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)‎ 附：①s2＝204.75，≈14.31；‎ ‎②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，‎ P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4；‎ ‎③0.841 34≈0.501.‎ ‎[解]　(1)由题意知：‎ 中间值 ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎95‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，‎ ‎∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．‎ 8‎ ‎(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，‎ σ2＝204.75，σ≈14.31，‎ ‎∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．‎ 而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6，‎ ‎∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 7.‎ ‎∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634.‎ ‎(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3.‎ 而ξ～B(4,0.841 3)，‎ ‎∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.‎ ‎1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为 ‎(　　)‎ A. B． ‎ C. D． B　[由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]‎ ‎2．(2019·浙江高考)设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 X ‎0‎ a ‎1‎ P 则当a在(0,1)内增大时，(　　)‎ A．DX增大 B．DX减小 C．DX先增大后减小 D．DX先减小后增大 D　[法一：由分布列得EX＝，则 8‎ DX＝2×＋2×＋2×＝2＋，则当a在(0,1)内增大时，DX先减小后增大．故选D.‎ 法二：则DX＝EX2－EX＝0＋＋－，‎ ‎＝＝2＋，‎ 则当a在(0,1)内增大时，DX先减小后增大．故选D.]‎ ‎3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，‎ P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.]‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.‎ ‎(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；‎ ‎②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎[解]　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.因此 f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝‎2Cp(1－p)17(1－10p)．‎ 令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；‎ 当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.‎ 8‎ ‎(2)由(1)知，p＝0.1.‎ ‎①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，‎ 即X＝40＋25Y.‎ 所以EX＝E(40＋25Y)‎ ‎＝40＋25EY＝490.‎ ‎②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．‎ 由于EX＞400，‎ 故应该对余下的产品作检验．‎ ‎1．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)‎ A．3 B． ‎ C．2 D． B　[在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.‎ 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0,1,2,3，‎ 则P(X＝0)＝3＝；‎ P(X＝1)＝C××2＝；‎ P(X＝2)＝C×2×＝；‎ P(X＝3)＝.‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得EX＝.]‎ ‎2．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望Eξ 8‎ ‎＝________，方差Dξ的最大值为________．‎ p　　[记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 数学期望Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p，‎ 方差Dξ＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.‎ 故数学期望Eξ＝p，方差Dξ的最大值为.]‎ 8‎