2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为， 或，又， 阴影部分对应的集合为， ，故选A.‎ ‎2．命题“”的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为“”，故选C.‎ ‎3．若复数满足，则复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，故虚部为.‎ ‎4．函数，则（ ）‎ A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点 ‎【答案】A ‎【解析】，当时， ，当时， ，函数递增，当时， ，函数递减，所以当时， 取得极大值，则为函数的极大值点，故选择A.‎ ‎5．设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. -3 B. -2 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.‎ ‎6．已知平面向量满足， ，且与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】与垂直， ， ， 与的夹角为，故选D.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】执行程序框图，输入 ，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，退出循环，输出 ，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线方程，可得 ，所以渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离为 ，故选C.‎ ‎9．若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）‎ A. 16 B. 9 C. 12 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】的圆心， 直线经过圆心，可得， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为，故选B.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10．函数在的图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数为偶函数，f(2)= ,所以排除A. ， ，所以C错。，当时， ， ，所以在增区间上。B错，D对。‎ ‎11．若函数在上是单调递增函数，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 或 ，选C 点睛：二次函数的图象，主要有以下三个要点（1）开口（2）对称轴（3）特殊点（如与坐标轴的交点，顶点等）从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象与性质．‎ ‎12．椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为， 两点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】的内切圆面积为 ‎，‎ 由题意得： ， ， ‎ 又 故选 点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出的面积，易知的内切圆的半径长，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题。‎ ‎13．已知数列的前项和为，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当n=1时，；‎ 当n>1时，。‎ 所以。‎ ‎【考点】数列通项公式的求法。‎ 点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式 ‎ 。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论 的情况。‎ 二、填空题 ‎14．一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】投掷两颗骰子所出现的不同结果数是，事件“投掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为的倍数”，所包含的基本事件有，共种，“投掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为的倍数”的概率为，故答案为.‎ ‎15．在中，角的对边分别为，若， ，且，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】所以根据正弦定理可得 ，故答案为.‎ ‎16．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则， ，故在递减，而，由，得，故，解得，即不等式的解集是，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.‎ 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 三、解答题 ‎17．在锐角中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得到，即；（2）由余弦定理得到，又因为，可解出未知量，进而求得面积。‎ 解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 由正弦定理得，即.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴.‎ ‎18．已知数列满足，且.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：⑴由得到，进而得到；‎ ‎⑵求出，推出，利用裂项法求解数列的和即可；‎ 解析：（1）∵，∴，∴，‎ ‎∴数列是等差数列.‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ ‎∴，‎ ‎19．已知函数.当时，函数取得极值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）方程有3个不同的根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由在取极值，可得，解方程可求出；（2）由（1）得的解析式，关于的方程在有两个不同的根，等价于函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数在区间的范围，结合图象可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由，则 因在时， 取到极值 所以 解得， ‎ ‎（2）由（1）得且 则 由，解得或；‎ ‎，解得或；‎ ‎，解得 ‎∴的递增区间为： 和；‎ 递减区间为： ‎ 又， ‎ 故答案为 ‎20．如图，在四棱椎中，底面为菱形， 为的中点.‎ ‎(1)求证： 平面；‎ ‎(2)若底面， ， ， ，求三棱椎的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1) 连接交于点，连接，由底面为菱形，可知点为的中点，根据三角形中位线定理可得 ，由线面平行的判定定理可得平面；(2)根据相似三角形的性质以及勾股定理可求出，点到底面的距离为，求出底面积，利用棱锥的体积公式可求得三棱椎的体积.‎ 试题解析：(1)证明：如图，连接交于点，连接，由底面为菱形，可知点为的中点，‎ 又∵为中点，‎ ‎∴为的中位线，‎ ‎∴.‎ 又∵平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解：∵底面，底面为菱形， ，∴，‎ 又易得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，得，‎ ‎∴点到底面的距离为，‎ ‎∴.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎21．如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线、的斜率互为相反数，且与抛物线另交于两个不同的点.‎ ‎（1）求点到其准线的距离；‎ ‎（2）求证：直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由点在抛物线上得，可得准线方程为，由此能求出点到其准线的距离；（2）设直线的方程为，联立，得，由已知条件推导出，根据斜率公式，化简可消去参数，从而证明直线的斜率为定值.‎ 试题解析：（1）解：∵是抛物线上一定点 ‎∴， ‎ ‎∵抛物线的准线方程为 ‎∴点到其准线的距离为： .‎ ‎（2）证明：由题知直线的斜率存在且不为0，‎ 设直线的方程为： ‎ 联立 ‎ ‎，∴‎ ‎∵直线的斜率互为相反数 ‎∴直线的方程为： ，同理@可得： ‎ ‎∴ ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，对通分，求函数的定义域，讨论的两个根和2的大小关系，分、、、四种情况进行讨论，利用， 求函数的单调区间；第二问，先将已知转化为在上有，由已知， ，下面关键是求，令即可求出a的取值范围.‎ 试题解析： .‎ ‎（1）.‎ ‎①当时， ， ，在区间（0,2）上， 在区间上，故的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是.‎ ‎②当时， ，在区间（0,2）和上， ；在区间上，故的单调递增区间是（0,2）和，单调递减区间是.‎ ‎③当时， ，故的单调递增区间是.‎ ‎④当时， ，在区间和上， ；在区间上， ，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎（2）由已知，在上有.‎ 由已知， ，由（2）可知，‎ ‎①当时， 在上单调递增，‎ 故，‎ 所以， ，解得，‎ 故.‎ ‎②当时， 在上单调递增，在上单调递减，‎ 故.‎ 由可知， ， ，‎ 所以， ， ，‎ 综上所述， .‎ ‎【考点】导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值.‎