2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-1 直线方程与圆的方程（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-1 直线方程与圆的方程（试题部分）

专题九　平面解析几何 ‎【真题探秘】‎ ‎§9.1　直线方程与圆的方程 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 直线的倾斜角、斜率与方程 ‎①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;③掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 ‎2018课标全国Ⅱ,20,12分 直线的方程,圆的方程 直线与抛物线的位置关系、弦长以及直线与圆的位置关系 ‎★☆☆‎ ‎2016课标全国Ⅱ,6,5分 圆的方程 ‎—‎ 圆的方程 ‎①掌握确定圆的要素;②掌握圆的标准方程与一般方程 ‎2018天津,12,5分 圆的方程 ‎—‎ ‎★★☆‎ 分析解读 从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是考查圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　直线的倾斜角、斜率与方程 ‎1.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎ B.‎0,‎π‎4‎∪‎‎3π‎4‎‎,π C.‎0,‎π‎4‎ D.π‎4‎‎,‎π‎2‎∪‎π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019豫北精英对抗赛,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),若fπ‎4‎‎-x=fπ‎4‎‎+x,则直线ax-by+c=0的倾斜角为(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎3‎ C.‎2π‎3‎ D.‎‎3π‎4‎ 答案　D　‎ ‎3.(2020届河南林州一中10月月考,14)已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P‎-‎4‎‎5‎,-‎‎1‎‎5‎,且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围为　　　　　　　. ‎ 答案　‎-∞,-‎‎11‎‎6‎∪‎‎3‎‎7‎‎,+∞‎ ‎4.(2020届陕西西安五校开学摸底,14)直线l过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别是a,b且满足a=3b的直线l方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案　x+2y=0或x+3y+1=0‎ 考点二　圆的方程 ‎1.(2020届江西红色七校10月联考,5)若△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,3),B(5,2),C(1,0),则其外接圆的方程为(　　)‎ A.x2+y2-6x-2y+5=0 B.x2+y2+6x-2y+5=0‎ C.x2+y2-6x+2y+5=0 D.x2+y2+6x+2y+8=0‎ 答案　A　‎ ‎2.(2020届河南中原名校联盟第三次联考,6)已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值为(　　)‎ A.3-‎2‎ B.3+‎‎2‎ C.3-‎2‎‎2‎ D.‎‎3-‎‎2‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2019豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(　　)‎ A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=2‎ C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16‎ 答案　B　‎ ‎4.两条互相垂直的直线2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交点为P,若圆C过点P和点M(-3,2),且圆心在直线y=‎1‎‎2‎x上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+6)2+(y+3)2=34‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　求直线的斜率及倾斜角范围的方法 ‎1.已知点A(2,0),点B(-2,0),直线l:(λ+3)x+(λ-1)y-4λ=0(λ∈R),若直线l与线段AB有公共点,则λ的取值范围是(　　)‎ A.[-1,1)∪(1,3] B.[-1,3]‎ C.(-1,1)∪(1,3) D.[-1,3)‎ 答案　B　‎ ‎2.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.π‎4‎‎,‎π‎3‎ B.π‎3‎‎,‎π‎2‎ C.π‎4‎‎,‎π‎2‎ D.‎π‎3‎‎,‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2020届皖北协作第一次联考,13)直线xcos α+‎3‎y+2=0的倾斜角的范围是　　　　　　　. ‎ 答案　‎0,‎π‎6‎∪‎‎5π‎6‎‎,π 方法2　求直线方程的方法 ‎1.(2018天津学业考试,5)平行于直线l:x+2y-3=0,且与l的距离为2‎5‎的直线的方程为(　　)‎ A.x+2y+7=0‎ B.x+2y-13=0或x+2y+7=0‎ C.x+2y+13=0‎ D.x+2y+13=0或x+2y-7=0‎ 答案　B　‎ ‎2.过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案　y=-‎5‎‎3‎x或x-y+8=0‎ ‎3.(2020届山西康杰中学等四校第一次联考,14)过点P(2,1)作直线l,交x轴与y轴的正半轴于A,B两点,当△AOB面积取最小值时直线l的方程为　　　　　　　. ‎ 答案　x+2y-4=0‎ 方法3　求圆的方程的方法 ‎1.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)‎ A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5‎ C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,‎5‎)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为‎4‎‎5‎‎5‎,则圆C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　(x-2)2+y2=9‎ ‎3.(2020届河南中原名校第四次测评,14)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为　　　　　　　. ‎ 答案　(x-3)2+(y-1)2=9‎ ‎4.(2019山西晋中1月月考,14)已知圆C经过点A(1,3),B(4,2),与直线2x+y-10=0相切,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　(x-2)2+(y-1)2=5‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎　(2018课标全国Ⅱ,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 答案　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去)或k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),‎ 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),‎ 则y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎ 解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1‎ C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　. ‎ 答案　(x-1)2+y2=4‎ ‎3.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2x=0‎ ‎4.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=　　　　,r=　　　　. ‎ 答案　-2;‎‎5‎ ‎5.(2016浙江,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　　　,半径是　　　　. ‎ 答案　(-2,-4);5‎ C组　教师专用题组 考点一　直线的倾斜角、斜率与方程 ‎　(2016四川,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=‎-lnx,01‎图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ 答案　A　‎ 考点二　圆的方程 ‎1.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　　　; ‎ ‎(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　　. ‎ 答案　(1)(x-1)2+(y-‎2‎)2=2　(2)-‎2‎-1‎ ‎2.(2013课标Ⅱ,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2‎2‎,在y轴上截得线段长为2‎3‎.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为‎2‎‎2‎,求圆P的方程.‎ 答案　(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.‎ 从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),由已知得‎|x‎0‎-y‎0‎|‎‎2‎=‎2‎‎2‎.‎ 又P在双曲线y2-x2=1上,‎ 从而得‎|x‎0‎-y‎0‎|=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=-1.‎此时,圆P的半径r=‎3‎.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=-1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=1.‎此时,圆P的半径r=‎3‎. ‎ 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.‎ ‎3.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;‎ ‎(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.‎ 答案　(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).‎ ‎(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点M(x0,y0)其中x‎0‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,y‎0‎=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎,‎ 将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0.‎ 则有x1+x2=‎6‎‎1+‎t‎2‎,‎ 所以x0=‎3‎‎1+‎t‎2‎,代入直线l的方程,得y0=‎3t‎1+‎t‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎+‎9‎t‎2‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9(1+t‎2‎)‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9‎‎1+‎t‎2‎=3x0,‎ 所以x‎0‎‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎4‎.‎ 又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,‎ 所以Δ=36-20(1+t2)>0,解得t2<‎4‎‎5‎,所以‎5‎‎3‎0)上,并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是(　　)‎ A.x2+y2-x-2y+1=0 B.x2+y2+x-2y+1=0‎ C.x2+y2-x-2y-‎1‎‎4‎=0 D.x2+y2-x-2y+‎1‎‎4‎=0‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018江西南昌二中月考,6)曲线y=‎2xx-1‎在点P(2,4)处的切线与直线l平行且点P到直线l的距离为2‎5‎,则直线l的方程为(　　)‎ A.2x+y+2=0 B.2x+y+2=0或2x+y-18=0‎ C.2x-y-18=0 D.2x-y+2=0或2x-y-18=0‎ 答案　B　‎ ‎6.(2019湖南长沙长郡中学月考,5)已知点(-1,2)和‎3‎‎3‎‎,0‎在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.π‎4‎‎,‎π‎3‎ B.‎0,‎π‎3‎∪‎3π‎4‎‎,π C.‎3π‎4‎‎,‎‎5π‎6‎ D.‎‎2π‎3‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案　D　‎ ‎7.(2020届山西康杰中学第三次月考,9)过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l有(　　)‎ A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 答案　C　‎ ‎8.(2019河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2‎3‎,则直线l的方程为(　　)‎ A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0‎ C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x+4y-12=0或x=0‎ 答案　D　‎ ‎9.(2019四川成都七中入学考试,12)经过点P(2,1)的直线l与两条坐标轴的正半轴分别交于A、B两点,则|PA|·|PB|的最小值为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.4‎ 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎10.(2020届陕西西安五校第一次联考,14)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为‎5‎‎5‎,且圆C被x轴截得的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11.(2020届江西九江调研,19)设定点M(-2,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,线段MN的中点为P.‎ ‎(1)求MN的中点P的轨迹方程;‎ ‎(2)直线l与点P的轨迹相切,且l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程.‎ 答案　(1)设P点的坐标为(x,y),N点的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式得x‎0‎‎=2x+2,‎y‎0‎‎=2y-4.‎ ‎∵点N在圆x2+y2=4上,∴x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4,‎ ‎∴(2x+2)2+(2y-4)2=4,即(x+1)2+(y-2)2=1,‎ ‎∴MN的中点P的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=1.‎ ‎(2)∵直线l在x轴,y轴上的截距相等,∴l的斜率存在且不为0.‎ 当直线l在x轴,y轴上的截距都为0时,设直线l的方程为y=kx(k≠0),即kx-y=0,‎ ‎∵直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=1相切,‎ ‎∴‎|-k-2|‎k‎2‎‎+1‎=1,解得k=-‎3‎‎4‎.‎ 故此时直线l的方程为y=-‎3‎‎4‎x.‎ 当直线l在x轴,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xa+ya=1,即x+y-a=0.‎ ‎∵直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=1相切,‎ ‎∴‎|-1+2-a|‎‎2‎=1,解得a=‎2‎+1或a=1-‎2‎,‎ 故此时直线l的方程为x+y-1-‎2‎=0或x+y-1+‎2‎=0.‎ 综上,直线l的方程为y=-‎3‎‎4‎x或x+y-1-‎2‎=0或x+y-1+‎2‎=0.‎ ‎12.(2018晋豫百校联考,20)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.‎ 答案　曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.‎ 设A(x1,0),B(x2,0),则易知Δ=m2-8m>0,x1+x2=m,x1x2=2m.‎ 令x=0,得y=2m,即C(0,2m).‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则AC·BC=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-‎1‎‎2‎.‎ 由Δ>0得m<0或m>8,所以m=-‎1‎‎2‎,‎ 此时C(0,-1),AB的中点M‎-‎1‎‎4‎,0‎即为圆心,半径r=|CM|=‎17‎‎4‎,‎ 故所求圆的方程为 x+‎‎1‎‎4‎‎2‎+y2=‎17‎‎16‎.‎ ‎(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,‎ 将(0,2m)代入可得E=-1-2m,‎ 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,‎ 整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.‎ 令x‎2‎‎+y‎2‎-y=0,‎x+2y-2=0,‎可得x=0,‎y=1‎或x=‎2‎‎5‎,‎y=‎4‎‎5‎,‎ 故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和‎2‎‎5‎‎,‎‎4‎‎5‎.‎