数学理卷·2018届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查（2月）（2018

数学理卷·2018届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查（2月）（2018

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知函数，则是在处取得极小值的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知与是共轭虚数，有个命题①；②；③；④，一定正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．②③ D． ①②③‎ ‎4.大致的图象是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若实数，满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎10.已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. ‎ ‎13.已知向量，，，则 ．‎ ‎14.对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）‎ ‎15.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知的内角的平分线交于点，与的面积之比为，，则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若是等比数列，且，，令，求数列的前项和.‎ ‎18.已知梯形如图（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该所大学共有学生人，试估计有多少位同学旅游费用支出在元以上；‎ ‎（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名学生中有名女生，名男生，现想选其中名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：若，则，‎ ‎，.‎ ‎20.平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，抛物线：的焦点为.，是过点 互相垂直的两条直线，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ 龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由得，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又由得得，‎ 是首项为，公差为的等差数列，‎ 从而.‎ ‎（Ⅱ）设公比为，则由可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列满足，‎ 它的前项之和①，‎ ‎②，‎ ‎①-②得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）证明：由平面平面，，‎ 平面平面，平面，‎ 得平面，又平面，‎ ‎∴，‎ 由为正方形得，‎ 又，，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由平面得，，‎ 又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，‎ 设，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，，‎ 得取得，‎ ‎∵平面，，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ 设与平面所成的角为，则 ‎，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为，则，‎ 解得，所得样本中位数为.‎ ‎（Ⅱ），，，‎ 旅游费用支出在元以上的概率为 ‎，‎ ‎，‎ 估计有位同学旅游费用支出在元以上.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎.‎ ‎20.解：（Ⅰ）∵为线段中垂线上一点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∵，‎ ‎∴的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 它的方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵的焦点为，‎ 的方程为，‎ 当直线斜率不存在时，与只有一个交点，不合题意.‎ 当直线斜率为时，可求得，，‎ ‎∴.‎ 当直线斜率存在且不为时，‎ 方程可设为，代入得 ‎，，‎ 设，，则，，‎ ‎.‎ 直线的方程为与可联立得，‎ 设，，则，‎ ‎∴四边形的面积 ‎.‎ 令，则，‎ ‎，‎ ‎∴在是增函数，，‎ 综上，四边形面积的取值范围是.‎ ‎21. 解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎∵的定义域为.‎ ‎①即时，在上递减，在上递增，‎ ‎，无极大值.‎ ‎②即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎，.‎ ‎③即时，在上递增，没有极值.‎ ‎④即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎∴，.‎ 综上可知：时，，无极大值；‎ 时，，；‎ 时，没有极值；‎ 时，，.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎，‎ 设，则，，，‎ ‎∴在上递增，∴的值域为，‎ ‎①当时，，为上的增函数，‎ ‎∴，适合条件.‎ ‎②当时，∵，∴不适合条件.‎ ‎③当时，对于，，‎ 令，，‎ 存在，使得时，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 即在时，，∴不适合条件.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ），‎ 化为，‎ 即的普通方程为，‎ 消去，得的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）在中令得，‎ ‎∵，∴倾斜角，‎ ‎∴的参数方程可设为即，‎ 代入得，，∴方程有两解，‎ ‎，，∴，同号，‎ ‎.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）时，或或，‎ 或或，‎ 解集为.‎ ‎（Ⅱ）由已知在上恒成立，‎ ‎∵，，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∵的图象在上递减，在上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎