2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练13+导数的概念及运算

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练13+导数的概念及运算

课时分层训练(十三)　导数的概念及运算 ‎ (对应学生用书第190页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)‎ ‎ 【导学号：00090060】‎ A．2　　 　 B．0　　 　‎ C．－2　　 　 D．－4‎ D　[f′(x)＝2f′(1)＋2x，‎ 令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，‎ 所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.]‎ ‎2．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)‎ A．4 B．5 ‎ C． D． C　[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，‎ 故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，‎ 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，‎ ‎∴所求面积S＝××10＝.]‎ ‎3．(2018·武汉模拟)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A．1 B．－1　 ‎ C．2　　　　 D．－2‎ A　[f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝ ‎，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A．]‎ ‎4．(2018·成都模拟)已知函数f(x)的图像如图2101，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)‎ 图2101‎ A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)‎ B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)‎ C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)‎ D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)‎ C　[如图：‎ f′(3)、f(3)－f(2)、f′(2)分别表示直线n，m，l 的斜率，故0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选C．]‎ ‎5．(2018·福州模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图像是(　　)‎ A　[∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，它是一个奇函数，其图像关于原点对称，故排除B、D．又f′＝－＜0，故排除C，选A．]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P ‎(1,3)处的切线方程是________. 【导学号：00090061】‎ ‎2x－y＋1＝0　[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图像在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]‎ ‎7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ 　[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]‎ ‎8．如图2102，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ 图2102‎ ‎0　[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.‎ 又因为g(x)＝xf(x)，‎ 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，‎ 由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]‎ 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝xnlg x；‎ ‎(2)y＝＋＋；‎ ‎(3)y＝.‎ ‎[解]　(1)y′＝nxn－1lg x＋xn· ‎＝xn－1.‎ ‎(2)y′＝′＋′＋′‎ ‎＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′‎ ‎＝－x－2－4x－3－3x－4‎ ‎＝－－－.‎ ‎(3)y′＝′‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围. 【导学号：00090062】‎ ‎[解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 2分 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，‎ 所以斜率最小的切线过点， 4分 斜率k＝－1，‎ 所以切线方程为x＋y－＝0. 6分 ‎(2)由(1)得k≥－1，9分 所以tan α≥－1，所以α∈∪. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是 ‎(　　)‎ A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3‎ A　[若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，‎ 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.‎ 对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；‎ 对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；‎ 对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；‎ 对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.‎ 综上所述，选A．]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．‎ ‎2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.‎ ‎∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.‎ ‎∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，‎ ‎∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即2x－y＝0.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．‎ ‎[解]　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－. 2分 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为 y－f(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 9分 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为 y－g(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线. 12分