陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试理科数学试题

陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试理科数学试题

西安中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）试题 ‎（时间：120分钟 满分：150分） 命题人： ‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟；‎ ‎2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上；‎ ‎3．以下所有试题的答案均须书写在答题卡的相应位置．‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，i是虚数单位，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．定积分 (　　) ‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3．已知函数，则 (　　)‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎4．三角形面积为，，，为三角形三边长，为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为(　　)‎ A． B．‎ C．（为四面体的高）‎ D．（其中，，，分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是）‎ ‎5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 ‎ C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 ‎6．函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎7．如果函数的导函数的部分图像如图所示，则以下关于函数的判断：①在区间内单调递增； ‎ ‎ ②在区间内单调递减；‎ ‎ ③在区间内单调递增； ‎ ‎ ④是极小值点； ‎ ‎ ⑤是极大值点.‎ ‎ 其中正确的是(　　) ‎ A．②③ B．③⑤ C．①④⑤ D．①②④ ‎ ‎8．已知不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围为(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，则的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10．用数学归纳法证明不等式时，从到，不等式左边增添的项数是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在等比数列中，，，函数，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是上的单调增函数，则的取值范围是(　　)‎ A． B．或 C． D．或 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13． ． ‎ ‎14．比较大小： ．（用，或填空）‎ ‎15．将正整数有规律地排列如下：‎ 则在此表中第行第列出现的数字是 ． ‎ ‎16．已知，函数．‎ ‎①当时，函数的最小值为______；‎ ‎②若在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎（本小题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知复数，．‎ ‎（Ⅰ）若Z为纯虚数，求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若Z对应的点在直线上，求m的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数在点处有极值．‎ ‎（Ⅰ）求常数，的值；‎ ‎（Ⅱ）求曲线与轴所围成的图形的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，且．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：． ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，，设直线为函数的图像在处的切线，求证：．‎ 西安中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B D D D B A A C B C 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．4，‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：由题意，复数，‎ 则， 2分 ‎（Ⅰ）若为纯虚数，则有，‎ 解得：． 7分 ‎（Ⅱ）根据Z对应的点在上，‎ 则有，‎ 解得：． 10分 ‎18．解：（Ⅰ）‎ 当时，；‎ 当时，． 4分 的单调递增区间为和；‎ 单调递减区间为． 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在处取得极大值，‎ 在处取得极小值． 10分 极大值为，‎ 极小值为． 12分 ‎19．解：（Ⅰ）由题意知，‎ 且， 2分 即，解得， 4分 经检验，当时符合题意． 6分 ‎（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知．作出曲线的草图，所求面积为阴影部分的面积．‎ 由得曲线与轴的交点坐标是，和，‎ 而是上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.‎ 所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等. 8分 所以所求图形的面积为 ‎． 12分 ‎ ‎ ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）当时，， 2分 所以即：‎ ‎，或，或，‎ 解得，‎ 从而，不等式的解集为． 6分 ‎（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增，‎ 且函数是连续不间断的， 8分 所以，‎ 解得，‎ 故所求实数a的取值范围是． 12分 ‎21．解：（Ⅰ）依题意，，故． 2分 所以， 4分 所以，即的取值范围为． 6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以 8分 ‎，‎ 当且仅当时等号成立． 10分 又因为，‎ 所以． 12分 ‎22．（Ⅰ）解：易得，‎ 由已知得对恒成立，‎ 故对恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴． 4分 ‎（Ⅱ）证明：当时，‎ 函数的图像在处的切线方程为 ‎． 6分 令，‎ 则． 8分 设，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴在R上单调递减，我们注意到， 10分 ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ ‎∴，即． 12分