2021高考数学一轮复习课时作业30等比数列及其前n项和理

2021高考数学一轮复习课时作业30等比数列及其前n项和理

课时作业30　等比数列及其前n项和 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·河北保定模拟]已知等比数列{an}中，有a‎3a11＝‎4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．8 D．15‎ 解析：∵a3a11＝4a7，∴a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C项．‎ 答案：C ‎2．[2019·贵州贵阳期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎8a2＋a5＝0，则＝(　　)‎ A．11 B．5‎ C．－11 D．－8‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴q3＝－8，∴q＝－2，∴＝＝－11，故选C项．‎ 答案：C ‎3．[2019·陕西西安远东中学期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9，∴a1＝，故选C项．‎ 答案：C ‎4．[2020·内蒙古呼和浩特一中摸底]已知数列{an}是递减的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．8－ B．16－ C．2n－3－8 D．16－2n－3‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝8，∴a1·a4＝8，又a1＋a4＝9且数列{an 5‎ ‎}是递减数列，∴a1＝8，a4＝1，∴q3＝，∴q＝，∴Sn＝＝16－，故选B项．‎ 答案：B ‎5．[2020·安徽合肥联考]已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于(　　)‎ A．45 B．60‎ C．35 D．50‎ 解析：通解　∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，∴S9－S6＝12，S12－S9＝24，又S6＝9，∴S9＝21，∴S12＝45，故选A项．‎ 优解　∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，∵S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝S12，∴S12＝＝45，故选A项．‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝________.‎ 解析：因为①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．[2020·长春调研]在正项等比数列{an}中，已知a‎1a2a3＝4，a‎4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.‎ 解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.‎ 答案：14‎ ‎8．[2019·河北师大附中期中]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a2＝1，则a4＋‎3a2的最小值为________．‎ 解析：通解　∵a2·a4＝a，∴a4＝，∵a3－a2＝1，∴a3＝a2＋1，∴a4＋3a2＝＋3a2＝＋4a2＋2，∵a2>0，∴＋4a2＋2≥6，即a4＋3a2≥6，当且仅当a2＝时取等号，所以a4＋3a2的最小值为6.‎ 优解　设数列{an}的公比为q，∵a3－a2＝1，∴q>1且a1q2－a1q＝1，即a1＝‎ 5‎ ，∴a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝＝＝q－1＋＋2≥6，当且仅当q＝3时取等号，所以a4＋3a2的最小值为6.‎ 答案：6‎ 三、解答题 ‎9．[2020·兰州诊断性测试]在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意有 解得d＝1或d＝0(舍去)，‎ ‎∴an＝1＋(n－1)＝n.‎ ‎(2)由(1)得an＝n，‎ ‎∴bn＝2n，∴＝2，‎ ‎∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴Tn＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．[2019·全国卷Ⅱ]已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝‎2a2＋16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．‎ 解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，‎ 即q2－2q－8＝0.‎ 解得q＝－2(舍去)或q＝4.‎ 因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.‎ ‎(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，‎ 因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·湖南湘潭模拟]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取最大值时，n的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 5‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝－24，a4＝－，可得q3＝＝，解得q＝，∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)＝(－24)n·，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n＝2时，T2＝242·＝192；当n＝4时，T4＝244·6＝；当n＝6时，T6＝246·15＝，则T66，且n为偶数时，Tn0，所以q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，所以q＝.综上，q＝，故选B项．‎ 答案：B ‎13．[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 019＝0，f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 019)＝(　　)‎ A．2 018 B．4 036‎ C．2 019 D．4 038‎ 解析：∵f(x)＝，∴f()＝，∴f(x)＋f()＝2，∵lg a1＋lg a2 019＝0，∴lg a1a2 019＝0，∴a1·a2 019＝1，∴f(a1)＋f(a2 019)＝f(a2)＋f(a2 018)＝…＝f(a1 009)＋f(a1 011)＝2f(a1 010)＝2，∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 019)＝2 019，故选C项．‎ 答案：C 5‎ 5‎