高考数学精英备考专题讲座 三角函数
三角函数
一、高考预测
该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和
性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角
函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般
1.考小题，重在基础运用
考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单
调性、奇偶性、对称性、周期性）、 反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。
2.考大题，难度明显降低
有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有
了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。解答题的形式进行考查，且难度不大，主要
考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）
应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周
期有关的问题．
高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各
位在 2012 年的高考中取得辉煌成绩。
图象上升时与 x 轴的交点）为 0 02xk ，其他依次类推即可。
3．五点法作 y=Asin（ω x+ ）的简图：五点取法是设 x=ω x+ ，由 x 取 0、 2
π
、π 、 2
π3
、2
π 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。3．函数
BxAy )sin( ），（其中 00 A 最大值是 BA ，最小值是 AB ，周期是
2T
，频率是
2f
，相位是 x ，初相是 ；其图象的对称轴是直线
)(2 Zkkx
，凡是该图象与直线 By 的交点都是该图象的对称中心。
4．由 y＝sinx 的图象变换出 y＝sin(ω x＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途
径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平
移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”
起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 y＝sinx 的图象向左( ＞0)或向右( ＜0＝
平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
1
倍(ω ＞0)，便得 y＝sin(ω x＋ )
的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 y＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来
的 倍(ω ＞0)，再沿 x 轴向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移
||
个单位，便得 y＝sin(ω x
＋ )的图象。
要点 3：与三角函数的性质有关的问题
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间： xy sin 的递增区间是
2222 kk ，
)( Zk ，
递减区间是
2
3222 kk ，
；
xy cos 的递增区间是 kk 22 ， ，递减区间是 kk 22 ， ，
xy tan 的递增区间是
22
kk ，
，
5．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ sin( )y A x、
cos( )y A x”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
要点 4：三角变换及求值
1．两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin( ；
2
2tantan 2 1 tan
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三
角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使
项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式
2sin2
1cossin
； 2
2cos1sin 2
； 2
2cos1cos 2
。（ 2）辅助角公式
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角
变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在
于“变角”，如 2( ) , ( ) ( ) 等，把所求角用含已知角的式子表
示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范
围及函数的单调性求得角。
要点 5：正、余弦定理的应用
1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关
系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝ c
a
，cosA＝sinB＝ c
b
，tanA＝ b
a
。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在△ABC 中，A、B、C
为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：
A＋B＋C＝π 。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
。（ R 为外接圆半径）
＝ )sin(2
sinsin2
BA
BAc
；（ 4）△＝2R2sinAsinBsinC。（ R 为外接圆半径）（5）△＝ R
abc
4 ；（ 6）△＝
))()(( csbsass ；
)(2
1 cbas
；（ 7）△＝r·s。
解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π ；（ 2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－
b < c，b－c < a，c－a > b；（ 3）边与角关系：正弦定理
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
（R
为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；
它们的变形形式有：a = 2R sinA， b
a
B
A sin
sin
， bc
acbA 2cos
222
。
三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意
三角形自身的特点。
要点 7：向量与三角函数的综合
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交
汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，
其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、
差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐
标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向
量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数
量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．
三、易错点点睛
命题角度 1 三角函数的图象和性质
[专家把脉] 上面解答求出 k 的范围只能保证 y= ()fx的图像与 y=k 有交点，但不能保证
y= 的图像与 y=k 有两个交点，如 k=1，两图像有三
个交点．因此，正确的解答要作出了 y= 的图像，
运用数形结合的思想求解．
[对症下药] 填(1，3)∵ =
]2,(,sin
],0(,sin3
xx
xx
作
出其图像如图
从图 5-1 中可看出：当 1
0，
∵- 2
x>0．
(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ 的函数； (Ⅱ)θ 为何值时，十字形的面积最大?最大面积是
多少?
[考场错解] 设 S 为十字形的面积，则 S=2xy=2sinθ · cosθ =sin2θ ( 4
≤θ < 2
)．
)2sin(,5
5arccos 当
=1，即 2θ - = 2
时，S 最大．∴当θ = 5
52
2
1
4 ARCCOS
时，S 最大，
S 的最大值为 2
15
．
解法 2 ∵S=2sinθ cosθ -cos2θ ，∴S′=2cos2θ - 2sin2θ +2sinθ ·cosθ =2cos2θ +sin2
θ ．
[专家把脉]∵ ()fx =3( 3
2
-cosx)．当 00，由②式知 tan(an-1，-an)< 0．由此可知 an+1-an 必在第二象限∴ 0 是 ()fx =0 的任意正实根，即 x0-tanx0，则存在一个非负整数 k，使 x0∈( 2
+k
π ，π +kπ )，即 x0 在第二或第四象限内．由①式 =cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限
中的符号可列表如下：
X
( 0,2 xk
)
0x kx ,0
的符号 K 为奇数 - 0 +
K 为偶数 + 0 -
所以满足 =0 的正根 x0 都为 f(x)的极值点．由题设条件，a1,a2，…，an…为方程 x=-tanx
专家会诊
处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角
函数模型，通过三角变换来解决．另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来
求解．有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第 2、3 题．
命题角度 4 向量及其运算
1 如图 6-1，在 Rt△ABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与 BC 的
夹角θ 取何值时 BP． CQ 的值最大?并求出这个最大值．
[考场错
解]
,||)()(,, 2 BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP 此
后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续．
[专家把脉] 此题是湖北省 20 典型例题)已知，|a|= 2 ，|b|=3，a 与 b 的夹角为 45°，
当向量 a+λ b 与λ a+b 的夹角为锐角时，求实数 A 的范围．
[考场错解] 由已知 a·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λ b 与λ a+b 的夹角为锐角，∴(a+λ
b)·(λ a+b)>0
即λ |a|2+λ |b|2+(λ 2+1)a·b=0，∴2λ +9λ + 3(λ 2+1)>0，解得
所述实数λ 的取值范围是(-∞， 6
8511
6
8511
,1)∪(1，+∞)．
3．已知 O 为△ABC 所在平面内一点且满足 032 OCOBOA ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为
( )
A．1 B. 3
2.2
3 C
D．2
△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为 3：2，选 B．
(2)不妨设 A(0，0)，B(1， 0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量
的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量
的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用
向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就
应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共
线的充要条件来解题.
命题角度 5 平面向量与三角、数列
1.设函数 f(x)=a·b,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx,
]3,3[,3 x且
)求 x;(2)若函数 y=2sin2x
,1)32sin(21)62sin(212sin32cos2cos2sin3cos2 2 xxxxxxx 不是
第（2）问在利用
平移公式的时有错误.
[对症下药]（1）依题设，
f(x)=
,2
3)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin3cos2 2 xxxxx 得由
;4.362,6
5
622,33
xxxx 即
).222(
22222)1(23||||||||
).0,29(,29
29
2
141||||||||)2(
;16
1,16
1||,)2
1()2
1(||
1211
44
4
41211
8787
3
21
1
1
nOB
nnBBBBOBOB
OAOA
AAAAOAOA
AAAAAAAA
n
nnn
n
n
n
n
n
nnnn
nn
nn
得
得
[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与
实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.
[对症下药] （1）
,)2
1(4
1
2
1,2
1,2 21
6
657687111 AAAAAAAAAAAAAAA nnnnnnn 1nA
.16
14)2
1(,4 6
871221 jjAAjOAOAAA 又
).12,12(,)12()12()22()1(33).29,0(
.)29(
2
124,
2
1,
2
1
2
1)1()2(
11
4
4
412114132111
nnOBjninjinjjBBOBOBOA
jjjjjAAAAOAOAjAAjAAAA
nnnn
n
n
n
nnnnnnnnnnn
的坐标是同理的坐标为
知由
3.在直角坐标平面中，已知点 P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中 n 是正整数，
对平面上任一点 Ao，记 A1 为 Ao 关于点 P1 的对称点，A2 为 A1，关于点 P2 的对称点，…，An 为 An-1
关于点 Pn 的对称点．
(1)求向量 2AAo 的坐标；
[考场错解] 第(2)问，由(1)知 =(2，4)，依题意，将曲线 C 按向量(2，4)平移得到 y=f(x)
的图像．
∴y=g(x)=f(x-2)+4．
(2)∵ =｛2，4｝，∴f(x)的图像由曲线 C 向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位得到．
因此，曲线 C 是函数 y=g(x)的图像，其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(-2，
1)时，g(x)=1g(x+2)-4，于是，当 x∈(1，4)时，g(x)=1g(x-1)-4．
.3
)12(4,3
)12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22
)3(
13
1432112222
2422
nn
n
nnnOkkk
nnOnO
nnPPPPPPAAkPPAA
AAAAAAAA
得由于
1．(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为 2
1
，一个焦点 F(-m，0)(m 是大于 0 的常数．)
(1)求椭圆的方程；
(2)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、 Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若 ||2|| QFMQ ，求直
线 l 的斜率．
[对症下药] (1)设所求椭圆方程为
2
2
2
2
b
y
a
x
1 (a>b>O)． 由已知得 c=m，
.3,2,2
1 mbmaa
c
故所求的椭圆方程是
.1
34 2
2
2
2
m
y
m
x
(2)设 Q(xQ，yQ)，直线 l 的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，∵M、Q、F 三点共线，
[考场错解] 第(2)问：设 P(x，y)，M(xo，yo)，则 N(0，yo)
PNMPyyxPNyyxxMP oooo 又),,(),,(
∴x-xo=-λ ox,y-yo=λ o(yo-y)，∴λ o=-1．
[专家把脉] 对 PNMP o 分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上 M、N、P 三点共线，
它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λ o=-1 是错误的．
[对症下药] (1)解法 1：设 M(x，y)，则 C(x，
-1+
,0),3
221,(),3
22 BDACBDACyxDy 得由
即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得 x2+y2=1，又 x≠0，∴M 的轨迹方程是:x2+y2=1(x≠0)
解法 2：设 AC 与 BD 交于 E，连结 EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又 M、O 分别
为 CD， AB 的中点，∴
||2
1|||,|2
1|| ABEOCDOM
，又 E 为分别以 AB、CD 为直径的圆的切点，
∴O、C、M 三点共线，∴ |OM|=|OE|+|AB|=1，∴M 在以原点为圆心 1 为半径的圆上，轨迹方
程为 x2+y2=1(x≠0)．
(2)设 P(x，y)，则由已知可设 M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=λ oPN 得(x-xo，0)=λ o(-x，
0)，∴xo=(1+λ o)x，又 M 在 x2+y2=1(x≠0)上，∴P 的轨迹方程为(1+λ o)2x2+ y2=1(x≠0)，
[考场错解] 第(1)问：以 AB 的中点为坐标原点，以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，
则 A(0，1)，B(0，—1)，设 E(0，t)，B'(xo，1)，则由 0xxBEEBEM 得 y=-t，∴M 的
轨迹方程为 x=x0，y=-t
[专家把脉] 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t 不是轨迹方程，究其原因还是题
目的已知条件挖掘不够，本题中| EB |=| BE |是一个很重要的已知条件．
F 的直线的斜率为 k，则方程为 y= 2
1KX
，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 FQPF 得 x1=-λ x2，
联立直线方程和 C 得方程是 x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2 知上述方程在[-2，2]内有两个解，由；
次函数的图像知 4
1
4
1 k
，由 x=-λ x2 可得
21
12)21(2)1(
1 xxxx
由韦达定理得
8k2=
22
1,2
12)1(
解得
.
[考场错解] (1)设椭圆方程为
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
，F(c，0)联立 y=x-c 与
12
2
2
2
b
y
a
x
得
(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1+x2= 22
2222
21,22
232
ba
bacaxx
ba
ca
由 OBCA (x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)， OBOA 与 a 共线，得 x1+x2=3，y1+y2=-1，又
(2)证明：由(1)知 a2=3b2，所以椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
可化为 x2+32=3b2 设OM (x，y)，由已知得(x，
y)=λ (x1，y1)+μ (x2，y2)，
21
21
yyY
xxX
∴M(x，y)在椭圆上， ∴(λ x1+μ x2)23(λ y1+
μ y2)2=3b2．
即λ 2(
2
132
1 yx ) )2
232
2(23 yx +2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．①
由(1)知 x2+x2=
2
2
12,2
2
32,2
3 cbcac
∴
2
8
3
22
2222
21 c
ba
bacaxx
∴
x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=
232
2
92
2
3 ccc
=0．
又
232
232
2,232
132
1 byxbyx
又，代入①得 λ 2+μ 2=1．故λ 2+μ 2 为定值，定值为 1．
1．在△ABC 中，sinA+cosA=
2,2
2 AC
AB=3，求 tanA 的值和△ABC 的面积．
[专家把脉] 没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若 A=165°，sinA=此时
sinA+cosA= 2
2cossin,4
26cos4
26 AAA 此时
，显然与 sinA+cosA= 2
2
的已知
条件矛盾．
[对症下药] 解法 1．∵
s
inA=
)26(4
3sin2
1,32cos
sin AABACABCSA
A
.
2.设 P 是正方形 ABCD 内部的一点，点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别为 1、2、3，则正方形的
边长是 .
225225 或 .
[专家把脉]没有考虑 x 的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三
边，∴1
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