2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版）

2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版）

绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 2017-2018 学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试 数 学（文 科）试 卷 命题人：程若礼 审核人：孔蕊 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 5 页，满分为 120 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置 上。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．原命题为“若 ， 互为共轭复数，则 ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性 的判断依次如下，正确的是 A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 2．已知变量 ， 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据得到 的线性回归方程可能是 A． B． C． D． 3．已知复数 为纯虚数，则实数 的值为 A． B． C． D． 4．已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是 A． 　　　 B． C． D． 5．点 的直角坐标是 ，则它的极坐标为 1z 2z 1 2| | | |z z= x y 2x = 1.5y = 0.6 1.1y x= + 3 4.5y x= − 2 5.5y x= − + 0.4 3.3y x= − + 3i 1 2i a + − a 2− 4 6 6− C (1,0)F 1 2 C 2 2 13 4 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 12 x y+ = M ( 3, 1)− A． B． C． D． 6．已知 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 7．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 A． B． C． D． 8．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），则该曲线离心率为 A． B． C． D． 9．若不等式 的解集为空集，则 的取值范围是 A． B． C． D． 10．圆 与直线 的位置关系是 A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 11．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，则弦 的长为 (　　) A． 　　　　　　　　　B． C． D． 12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式 中“ ”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ．类比上述过程，则 A． B． C． D． 11(2, )6 π 5(2, )6 π ( 3, )6 π 11( 2, )6 π 0a b< < 3 3a b> ac bc< 2 2a b> 1 1 a b < 2 3ln2 xy x= − 2 3 2 1 1 2 C 4cos 2sin x y θ θ =  = θ 3 2 3 4 2 2 1 2 | 2 | | 3|x x a− + + < a [5, )+∞ (5, )+∞ ( ,5)−∞ ( ,5]−∞ 2 4sin( )4x πρ = + 1 2 2 2 1 2 2 2 x t y t  = −  = + 2 8y x= F 135° A B AB 4 8 12 16 11 11 1 + + +  11 xx + = 5 1 2x += 3 2 3 2+ + = 3 13 1 2 + 6 2 2 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 ， 取值如表： 画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 ． 14．已知整数对序列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则第 个数对是 ． 15．已知 ， ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实 数 的取值范围为________． 16．已知 ，函数 ，若 在 上是单调减函数，则实数 的取值 范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 已知 ． （1）解不等式 ； （2）求 的最小值及相应 的值． 18．（12 分） 平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 ． x y x 0 1 3 5 6 y 1 m 3m 5.6 7.4 y x ˆ 1y x= + m = (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,5) (2,4)  60 { | }A x x a= ≥ { || 1| 1}B x x= − < x A∈ x B∈ a 0a ≥ 2( ) ( 2 ) xf x x ax e= − ⋅ ( )f x [ 1,1]− a ( ) | 2 1| | 1|f x x x= − − + ( ) 9f x ≤ ( )f x x l 3 x t y t = = t x C 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0ρ θ ρ θ ρ θ+ − − = l C l C A B | |AB 19．（12 分） 某学校高二年级有学生 名，经调查，其中 名同学经常参加体育锻炼（称为 类同 学），另外 名同学不经常参加体育锻炼（称为 类同学），现用分层抽样方法（按 类、 类 分两层）从该年级的学生中共抽取 名同学，如果以 cm 作为身高达标的标准，由抽取的 名学生，得到以下的列联表： 分类 身高达标 身高不达标 总计 类同学 类同学 总计 （1）请将上表补充完整； （2）是否有 的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关． 附： ． 20．（12 分） 已知 ． （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 21．（12 分） 1000 750 A 250 B A B 100 165 100 A 43 B 17 100 95% 2 0( )P K k≥ 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( ) | 1| | 1| 2f x x x= − + + − ( ) 1f x ≥ x 2( ) 2f x a a≥ − − R a 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线的 的普通方程和曲线 的的直角坐标方程； （2）若曲线 与 交于 ， 两点，点 的极坐标为 ，求 的值． 22．（12 分） 保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离 （单位：千米）和火灾所造成的损 失数额 （单位：千元）有如下的统计资料： 距消防站的距离 （千米） 火灾损失数额 （千元） （1）请用相关系数 （精确到 ）说明 与 之间具有线性相关关系； （2）求 关于 的线性回归方程（精确到 ）； （3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站 千米，请评估一下火灾损失（精确到 ）． 参考数据： ， ， ， ， 参考公式： ； 回归直线方程为 ，其中 ， xOy 1C 32 5 42 5 x t y t  = −  = − + t x 2C cos tanρ θ θ= 1C 2C 1C 2C A B P (2 2, )4 π− | | | |PA PB⋅ x y x 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1 y 17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2 r 0.01 y x y x 0.01 10.0 0.01 6 1 175.40i i y = =∑ 6 1 ( )( ) 80.30i i i x x y y = − − =∑ 6 2 1 ( ) 14.30i i x x = − =∑ 6 2 1 ( ) 471.65i i y y = − ≈∑ 6744.60 82.13≈ 2 1 2 1 1 )()( ))(( yyxx yyxx r i n ii n i ii n i −Σ−Σ −−Σ = == = axby ˆˆˆ += ∑ ∑ = = − −− = n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( ))(( ˆ xbya ˆˆ −= 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B A C A A D B D A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. ； 14. ； 15. ； 16. . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【解】（1）① 时， ， ；……1 分 ② 时， ， ；………2 分 ③ 时， ， ………3 分 综上可知：不等式的解集为 ……………………….5 分 （2）由（1）知 ……………….7 分 知： 在 和 单调递减，在 单增，………………8 分 …………………….10 分 18.【解】（1）直线 的普通方程为 ；……………………….2 分 ， 曲线 的直角坐标方程为 ；……….5 分 （2）曲线 圆心 到直线 的距离 ；……………7 分 圆的半径 ； …………………………………………8 分 3 2 (5,7) 0a ≤ 3 4a ≥ 1x ≤ − ( ) 2 9 7f x x x= − + ≤ ⇒ ≥ − [ 7, 1]x∴ ∈ − − 11 2x− < < ( ) 3 9 3f x x x= − ≤ ⇒ ≥ − 1( 1, )2x∴ ∈ − 1 2x ≥ ( ) 2 9 11f x x x= − ≤ ⇒ ≤ 1[ ,11]2x∴ ∈ [ 7,11]− 2, 1 1( ) 3 , 1 2 13, 2 x x f x x x x x  − + ≤ − = − − < <   − ≥ ( )f x ( , 1)−∞ − 1( 1, )2 − 1[ , )2 +∞ min 1 3( ) ( )2 2f x f∴ = = − l 3y x= cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ∴ C 2 2 2 3 0x y y+ − − = :C 2 2( 1) 4x y+ − = (0,1) 3y x= 1 1 21 3 d = = + 2r = ，………………………10 分 ………………………………………………12 分 19.【解】（1） 分类 身高达标 身高不达标 总计 类同学 类同学 总计 …………………………………………………6 分 （2） …8 分 又 …………………………………………10 分 有 的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关…………………………12 分 20.【解】（1） 的解集为 …………………………6 分 （2）只需 …………………………8 分 由（1）知： …………10 分 ………………………12 分 21.【解】（1） ， 的普通方程为 ………2 分 ，∴ 的直角坐标方程为 ；……………………4 分 （2） ，为直线所过定点……………………6 分 将曲线 的参数方程 （ 为参数）代入 2 2 2| | 1 15( ) 42 4 4 AB r d∴ = − = − = ∴ | | 15AB = A 43 32 75 B 8 17 25 51 49 100 2 2 2 ( ) 100 (43 17 8 32) 4.815( )( )( )( ) 75 25 51 49 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = ≈+ + + + × × ×  4.815 3.841> ∴ 95% 2 2, 1 ( ) 0, 1 1 2 2, 1 x x f x x x x − − ≤ − = − < <  − ≥ ∴ ( ) 1f x ≥ 3 3( , ] [ , )2 2 −∞ − +∞ 2 min2 ( )a a f x− − ≤ min( ) 0f x = 2 2 0 ( 2)( 1) 0 1 2a a a a a∴ − − ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ − ≤ ≤ 2 2 03 4 x y− ++ = 1C∴ 4 3 2 0x y+ − = 2 2cos sinρ θ ρ θ= 2C 2x y= (2, 2)P − 1C 32 5 42 5 x t y t  = −  = − + t 2x y= 得 ……………………8 分 ， ，……………………10 分 ……………………12 分 22. 【解】（1） ……………2 分 所以 与 之间具有很强的线性相关关系；……………4 分 （2） ……………6 分 ……………8 分 ，……………………9 分 与 的线性回归方程为 ……………………10 分 当 时， ，所以火灾损失大约为 千元．…………12 分 2 23 4 9 16(2 ) 2 6 05 5 5 5t t t t− = − + ⇒ − + = 1| | | |PA t= 2| | | |PB t= 1 2 10| | | | | | 3PA PB t t∴ ⋅ = ⋅ = 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i ii n n i ii i x x y y r x x y y = = = Σ − − = Σ − Σ − 80.30 80.30 80.30 0.97882.1314.30 471.65 6744.60 = = = ≈ × y x 175.403.9, 29.236x y= = ≈ ∑ ∑ = = − −− = n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( ))(( ˆ 80.30 5.6214.30 = = xbya ˆˆ −= 29.23 5.62 3.9 7.31= − × = ∴ y x 5.62 7.31y x= + 10x = 63.51y = 63.51