2018-2019学年云南省昆明市高二下学期期末考试数学（文)试题 解析版

2018-2019学年云南省昆明市高二下学期期末考试数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 云南省昆明市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可得计算结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法，属于基础题.‎ ‎3．已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出的坐标，利用向量共线的坐标形式可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，因为，所以，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 如果，那么：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则；‎ ‎4．已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则可得双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 由可得双曲线的渐近线方程，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线的求法，属于基础题.‎ ‎5．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按规则写出存在性命题的否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定为“”，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎6．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.‎ ‎【详解】‎ 设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.‎ 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.‎ 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，‎ ‎，故，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.‎ ‎7．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 设，，A，C，D均是错误的，选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.‎ ‎8．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，‎ 因，故，从而有，A正确.‎ B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.‎ ‎9．已知实数，则满足不等式的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在坐标平面中画出基本事件的总体和随机事件中包含的基本事件对应的平面区域，算出它们的面积后可得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 基本事件的总体对应的不等式组为，‎ 设为“不等式成立”，它对应的不等式组为 前者对应的平面区域为正方形边界及其内部，‎ 后者对应的平面区域为四边形及其内部（阴影部分），‎ 故，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）‎ A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再利用正弦函数的单调性计算的单调区间即可．‎ ‎【详解】‎ 因为的图像关于直线对称，所以，‎ 故．‎ 因为，所以即．‎ 令，则，故函数的单调增区间为，故在上单调递增．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 对于三角函数 的图形，如果直线为其对称轴，则，如果以作为其对称中点，那么．解题中注意利用这个性质求参数的取值．‎ ‎11．已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．‎ ‎12．已知函数在上是增函数，设，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，利用在上为减函数可得的大小关系，从而得到正确的选项．‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 故，即，故即，‎ 又，故，‎ 综上，，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 不同底、不同指数的幂比较大小，可根据底、指数的特点构建新函数，利用导数考虑新函数的单调性从而得到幂的大小关系．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在等差数列中，，，则公差__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可得，从而．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，所以，填．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎14．曲线在点（0，1）处的切线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，，切线斜率为，切线方程为，即.‎ 故答案为.‎ 考点：利用导数求切线方程.‎ ‎15．在中，是中点，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示后可计算它们的数量积.‎ ‎【详解】‎ 因为是中点，所以，‎ 而，故，填.‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．‎ ‎16．已知椭圆，，，斜率为的直线与相交于两点，若直线平分线段，则的离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求出的值后可得离心率的值．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 故即，‎ 因为为的中点，故即，‎ 所以即，故，填．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.‎ ‎(1)求植株高度频率分布直方图中的值；‎ ‎(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.60.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.‎ ‎（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由茎叶图知，.‎ 由频率分布直方图知 ‎，‎ 所以. ‎ ‎（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.‎ ‎18．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，且，是上的点，平分，求的面积.‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理可把边角的关系式转化为关于角的三角函数式，从中可计算，故可求出.‎ ‎ （2）利用解直角三角形可求出，再利用面积公式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由正弦定理得，‎ 因为，所以，即.‎ 又，所以 ‎（2）因为，，所以，因为，所以，‎ 又因为为的角平分线，所以，‎ 在中，，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ ‎19．已知等比数列的前项和，其中为常数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得 .‎ ‎（2）利用分组求和法可求的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 因为数列是等比数列，所以对也成立，‎ 所以，即.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点为，连结，可证四边形是平行四边形，故可得，从而得到要求证的线面平行. ‎ ‎（2）连结，交于点，连结，可证为到平面的距离，最后利用体积公式计算三棱锥即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，取中点为，连结，‎ 则，‎ 所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，‎ 所以平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连结，交于点，连结，‎ 因为为的中点，‎ 所以为的中位线，‎ 又因为平面，‎ 所以平面，‎ 即为三棱锥的高.‎ 在菱形中可求得，‎ 在中，，所以 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.‎ ‎（2）根据（1）可知且，后者可得实数的取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：因为，‎ ‎①当时，总有，‎ 所以在上单调递减.‎ ‎②当时，令，解得.‎ 故时，，所以在上单调递增.‎ 同理时，有，所以在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知当时，单调递减，‎ 所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，‎ 由（1）知当时，，‎ 所以当时，解得，从而.‎ 又时，有，因为，，‎ 令，则，‎ 所以在为增函数，故，‎ 所以，根据零点存在定理可知：‎ 在内有一个零点，在内有一个零点，‎ 故当函数有个零点时，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.‎ ‎22．已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .‎ ‎（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设准线与轴的交点为点，连结，‎ 因为是正三角形，且，‎ 在中，，‎ 所以.‎ ‎（2）设，直线，由知，‎ 联立方程：，消得.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又原点到直线的距离为，‎ 所以，同理，‎ 所以，当且仅当时取等号.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.‎