河北省保定市定州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

河北省保定市定州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

定州市 2019-2020 学年第一学期期中考试 高一数学试题 说明:本试卷分为第 I 卷和第 I 卷两部分,共三个大题,22 个小题.满分 150 分, 时间 120 分钟.I 卷答案写在答题卡上,交卷时只收答题卡. 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将 正确答案的序号填涂在答题卡上) 1.下列写法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空集的定义及集合间关系,即可判断选项. 【详解】空集是不含任何元素的集合,所以 A 选项错误; 并集、包含符号用于集合与集合之间,所以 B 和 C 选项错误. 由集合的包含关系可知,D 为正确选项. 故选:D 【点睛】本题考查了空集概念的辨析,元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题. 2.已知集合 ,则使 成立的 值的个数有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用集合之间的关系和分类讨论方法即可得出. 【详解】解： 成立 . 由集合元素的互异性可知： , 0 φ∈ { }0 φ φ= 0 φ⊆ { }0φ ⊆ { }21,2,{ 3, }, 3,A a B a= = A B A= a 4 6 5 3 AUB A= B A∴ ⊆ 2 23, 1,2,a a a¹ = 解得 , 再由集合元素的互异性可知： ①当 时, , ,满足 ； ②当 时, , ,满足 ； ③当 时, , ,满足 ； ④当 时, , ,满足 . 综上可知使 成立的 的个数是 ． 故选：A 【点睛】本题考查集合之间的关系和集合元素的互异性,及分类讨论思想方法. 3.已知函数 ，则 的解析式为 　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】令 ,则 ，所以 即 . 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化. 4.集合 ,集合 ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 1, 2,0a =± ± 1a ≠ 1a = − 12{ 3 }1A = -，，， }1{3B = ， B A⊆ 2a = 12 2{ 3A = ，，， ） }2{3B = ， B A⊆ 2a = − 2 2{1 3A = -，，， ） }2{3B = ， B A⊆ 0a = 1,2{ 3 0}A = ，， }0{3B = ， B A⊆ A B A= a 4 ( )2 4 5f x x x+ = + + ( )f x ( ) ( ) 2 1f x x= + ( ) ( )2 1 2f x x x= + ≥ ( ) 2f x x= ( ) ( )2 2f x x x= ≥ 2x t+ = 2t ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 t 2 5 1, 2 ,f t t t t= − + − + = + ≥ ( ) 2 1f x x= + ( )2x ≥ ( )( ){ }2 3 1A x y x x= = + − { }2 2 3, [0,3]B y y x x x= = − + ∈ A B = [ ]2,6 [ ]3,6 ∅ ( ), 3 [1, )−∞ − +∞ 根据负数没有平方根求出集合 中函数的定义域,确定出集合 ,根据二次函数的性质,求出 集合 中函数的值域,确定出集合 ,找出 与 的公共部分,即可确定出两集合的交集. 【详解】解：由集合 中的函数 , 得到 ,解得： , . 由集合 中函数 ,得到 , . 则 . 故选：C 【点睛】此题属于以函数的定义域与值域为平台,考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义 是解本题的关键. 5.设 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据已知求出 ，再求的值. 【详解】 ， ，则 . 故选 D 【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能 力. 6.下列函数中,与函数 单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A. B. C. D. 的 A A B B A B A ( )( )2 3 1y x x= + − ( )( )2 3 1 0x x+ − ≥ 3 1x− ≤ ≤ { }| 3 1A x x = - £ £ B 2 2 3, [0,3]y x x x= − + ∈ 2 6y≤ ≤ { }| 2 6B y y = £ £ A B = ∅ lg6a = lg 20b = 2log 3 = 1 1 a b b + − + 1 1 a b b + − − 1 1 a b b − + + 1 1 a b b − + − lg2 1 lg3 1b a b= − = − +， 2 3 1 2 a lg lg b lg = +  = + 2 1 3 1 lg b lg a b = −∴ = − + 2 lg3 1log 3 lg2 1 a b b − += = − 3y x= y x= 1y x x = − 1y x x = + x xy e e−= − 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的单调性判断即可. 【详解】解:函数 是奇函数且在 是增函数. 对于 A,函数 是非奇非偶函数； 对于 B,函数 是奇函数,在定义域上无单调性. 对于 C,函数 是奇函数,在定义域上无单调性, 对于 D,函数 是奇函数且在 是增函数. 故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断,属于基础题. 7.已知实数 a，b 满足 ， ，则函数 零点所在的区间是 　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由 ，得 ， ， .所以零点在区间 . 考点：零点与二分法. 8.已知函数 ,关于 的性质,有以下四个推断: ① 的定义域是 ;② 的值域是 ; ③ 是奇函数;④ 是区间 上的增函数. 其中推断正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 的 3y x= ( , )−∞ +∞ y x= 1y x x = − 1y x x = + x xy e e−= − ( , )−∞ +∞ 2 3a = 3 2b = ( ) xf x a x b= + − ( ) ( )2, 1− − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,2 2 3,3 2a b= = 2 3log 3, log 2, 1a b ab= = = ( ) 11 1 1 0f a b−− = − − = − < ( ) 30 1 1 log 2 0f b= − = − > ( )1,0− ( ) 2 1 exf x x = + ( )f x ( )f x R ( )f x ,2 2 e e −   ( )f x ( )f x ( )0,2 1 2 3 4 【解析】 【分析】 根据 的表达式求出其定义域,判断①正确；根据基本不等式的性质求出 的值域, 判断②正确；根据奇偶性的定义,判断③正确；根据函数的单调性,判断④错误. 【详解】解：① 函数 , 的定义域是 ,故①正确； ② , 时, , 时, , 时, ; 故 的值域是 ,故②正确:； ③ , 是奇函数,故③正确； ④由 ,由于 在 上递减,在 上递增, 在区间 上先增后减,故④错误. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的定义域、值域问题,考查函数的奇偶性和单调性,是一道中档题. 9.已知函数 ，若 ，则此函数的单调减区间 是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得函数 的定义域为 ，根据二次函数的性质，求得 在 ( )f x ( )f x  ( ) 2 1 exf x x = + ( )f x∴ R ( ) 1 ef x x x = + 0x > ( )0 2 ef x< ≤ 0x < ( ) 02 e f x− ≤ < 0x = ( ) 0f x = ( )f x ,2 2 e e −   ( ) ( ) ( )2 2 11 ex exf x f xxx −− = = − = −+− + ( )f x ( ) 1 ef x x x = + 1y x x = + ( )0,1 ( )1,2 ( )f x ( )0,2 2( ) log ( 2 3)( 0 1)af x x x a a= − − + > ≠, (0) 0f < ( , 1]−∞ − [ 1 )− + ∞， [ 1,1)− ( 3, 1]− − ( )f x ( 3,1)− ( ) 2 2 3g x x x= − − + 单调递增，在 单调递减，再由 ，得到 ，利用复合函数的单 调性，即可求解. 【详解】由题意，函数 满足 ， 解得 ，即函数 的定义域为 ， 又由函数 在 单调递增，在 单调递减， 因为 ，即 ，所以 ， 根据复合函数的单调性可得，函数 的单调递减区间为 ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了对数函数 图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题. 10.已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意： ， 且： ， 据此： ， 结合函数的单调性有： ， 即 . 本题选择 C 选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函 的 ( 3, 1]− − ( 1,1)− (0) 0f < 0 1a< < 2( ) log ( 2 3)af x x x= − − + 2 2 3 0x x− − + > 3 1x− < < ( )f x ( 3,1)− ( ) 2 2 3g x x x= − − + ( 3, 1]− − ( 1,1)− (0) 0f < (0) log 3 0af = < 0 1a< < ( )f x ( 3, 1]− − ( )f x R 2 1log 5a f  = −    ( )2log 4.1b f= ( )0.82c f= , ,a b c a b c< < b a c< < c b a< < c a b< < ( )2 2 1log log 55a f f = − =   0.8 2 2log 5 log 4.1 2,1 2 2> > < < 0.8 2 2log 5 log 4.1 2> > ( ) ( ) ( )0.8 2 2log 5 log 4.1 2f f f> > ,a b c c b a> > < < 数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函 数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 11.已知 满足 ，若函数 与 图象的交点 为 ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 函数 与 图象都关于点 对称，结合对称性可得结果. 【详解】由 满足 ，可知 图象关于点 对称， 又函数 图象也关于点 对称， ∴ ∴ 故选 C 【点睛】本题考查利用图像的对称性求式子的值，考查数形结合的思想，考查逻辑推理能力， 属于中档题. 12.若 是定义在 R 上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（ ） （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 是奇函数，则 也是奇函数； （4）若 是奇函数，则 ． A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】A ( )( )f x x R∈ ( ) ( )3f x f x− = − 3 10 2 xy x += ( )y f x= ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,m mx y x y x y 1 2 my y y+ + + = 0 m 3 2 m 3m 3 10 2 xy x += ( )y f x= 30 2     ， ( )( )f x x R∈ ( ) ( )3f x f x− = − ( )f x 30 2     ， 3 10 3 5= +2 2 x xy x += 30 2     ， 1 2 1 3m my y y y −+ = + = = 1 2 my y y+ + + = ( ) ( ) ( )1 2 1 1 3 2 2 m m my y y y y y m−+ + + + + + = ( )f x 0 0( ) >f x x [ ]0 0( ) >f f x x [ ]0 0( ) >f f x x 0 0( ) >f x x ( )f x [ ( )]f f x ( )f x 1 2 1 2( ) ( ) 0 0+ = ⇔ + =f x f x x x 【解析】 【分析】 利用单调性判断①；利用单调性与反证法判断②；利用奇偶性的定义判断③;利用奇偶性以 及单调性判断④. 【详解】对于①, 是定义在 R 上的单调递增函数,若 , 则 ,故①正确; 对于②,当 时,若 ,由 是定义在 R 上的单调递增函数得 与已知矛盾,故②正确; 对于③,若 是奇函数,则 , 也是奇 函数,故③正确; 对于④,当 是奇函数,且是定义在 R 上的单调递增函数时, 若 , 则 , 若 ,故④正确; 故选 A. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性.这种题 型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘 皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意 从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸的横线上） 13.函数 的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】 ( )f x ( )0 0f x x> ( ) ( )0 0 0f f x f x x> >   ( )0 0f f x x>   ( )0 0f x x≤ ( )f x ( ) ( )0 0 0f f x f x x≤ ≤   ( )f x ( ) ( ) ( )f f x f f x f f x− = − = −           ( )f f x∴    ( )f x ( ) ( )1 2 0f x f x+ = ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 0f x f x f x x x x x= − = − ⇒ = − ⇒ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 20 0x x x x f x f x f x f x f x+ = ⇒ = − ⇒ = − = − ⇒ + = ( ) ( 1)f x x x x= − + { | 1 0}x x x≥ =或 根据偶次根式下大于等于 0，可得不等式组 ，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足 ，解得 ， 即函数 的定义域是 ， 故答案为 . 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题. 14.意大利著名科学家伽利略说：“给我空间，时间以及对数，我就可以创造一个宇宙”.他把 对数与最宝贵的时间和空间相提并论，可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气 阻力的条件下，火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg、火箭（除燃料）的质量 m kg 满 足函数关系 .当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭最大速度可达 12 km/s. ( ，结果保留整数) 【答案】402 【解析】 【分析】 将 代入题中函数关系式,再将所得对数式转化为指数式,化简整理可得 的值,即 为燃料质量是火箭质量的倍数. 【详解】 火箭的最大速度可达 ,即 可得 ， ,解之得 故答案为:402 【点睛】本题以含有对数的函数为例,考查了用函数知识解决实际应用题和指、对数的互化 等知识点,属于基础题. 15.已知函数 f(x)＝ 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值 ( )1 0 0 x x x  − ≥  ≥ ( )1 0 0 x x x  − ≥  ≥ { | 1 0}x x x≥ =或 ( ) ( 1)f x x x x= − + { | 1 0}x x x≥ =或 { | 1 0}x x x≥ =或 2000ln(1 )Mv m = + 6e 403.429≈ 12000v = M m 2000ln 1 Mv m  = +   ∴ 12 /km s 12000 2000ln 1 M m  = +   ln 1 6M m  + =   61 M em + = 6 1 402M em = − ≈ 2 2 log ( 1) , 0 2 , 0 x x x x x + > − − ≤ 范围是_________. 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】 将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到 m 的范围． 【详解】令 g（x）＝f（x）﹣m＝0， 得 m＝f（x） 作出 y＝f（x）与 y＝m 的图象， 要使函数 g（x）＝f（x）﹣m 有 3 个零点， 则 y＝f（x）与 y＝m 的图象有 3 个不同的交点， 所以 0＜m＜1， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视． 16.已知下列四个命题: ①函数 满足:对任意 有 ； ②函数 均为奇函数； ③若函数 在 上有意义，则 的取值范围是 ； ④设 是关于 的方程 ,( 且 )的两根,则 ; 其中正确命题的序号是__________． 【答案】①②③④. 【解析】 ( ) 2xf x = 1 2 1 2, ,x x R x x∈ ≠ ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 x xf f x f x +  ≤ +      ( ) ( )2 2 21 , 1 2( 1) xf x log x x g x= + + = + − ( ) 1 2 4x xf x a= + + ⋅ ( ,1]−∞ a 3 4a ≥ − 1 2,x x x 4| |log x k= 0a > 1a ≠ 1 2 1x x⋅ = 【分析】 根据 的表达式,作差比较 、 的大小得出结论①正确； 根据奇函数的定义判断 是奇函数,判断②正确；根据均值不等式判断③正确；根 据对数函数的运算性质,判断④正确. 【详解】解：①：函数 ,对任意 , 有 , , 当且仅当 时取“ ”, 所以 成立,可得①正确； ②：由 时, 成立; 由 ,可得 ,即 , 由 ,即 有为奇函数, 又 , 可得 为奇函数, 函数 均为奇函数,故②正确; ③：若函数 在 上有意义, 即 在 上恒成立, 只需 在 上恒成立, 设 ,令 , ( ) 2xf x = 1 2 2 x xf +     ( ) ( )1 2 1 2 f x f x+   ( ) ( ),f x g x ( ) 2xf x = 1 2 1 2, ,x x R x x∈ ≠ ( ) ( ) 1 2 1 21 2 2 1 2 1 12 [2 2 ]2 2 2 x x x xx xf f x f x ++  − + = − +      1 2 1 2 1 2 21 1[2 2 ] 2 2 2 22 2 x x x x x x   + ≥ × = 1 2x x= = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 x xf f x f x +  ≤ +      0x ≥ 2 +1 0x x+ > 2 20, 1x x x< + > 2 1x x+ > − 2 +1 0x x+ > ( ) ( ) ( )2 2 2 2log 1 log 1 0f x f x x x− + = + − = = ( )f x ( ) ( ) 2 22 2 1 2 1x xg x g x −− + = + +− − 2 2 22 01 2 2 1 x x x ⋅= + + =− − ( )g x ( ) ( ) ( )2 2 2log 1 , 1 2 1xf x x x g x= + + = + − ( ) 1 2 4x xf x a= + + ⋅ ( ,1]−∞ 1 2 4 0x xa+ + ⋅ ≥ ( ,1]−∞ 1 2 4 x xa +− ≤ ( ,1]−∞ 1 2 1 1 4 4 2 x x x xy += = + 1 1[ ,+ )2 2xt = ∈ ∞ 则 , 即 ,故③正确； ④：设 是关于 的方程 的两根, 由图象特征可得 , 即 ,则 ,故④正确. 故答案为:①②③④. 【点睛】本题对初等函数基本性质 综合考查,需要逐项判断,易错点是在对函数值域的判断 上,本题的函数求值域需要借助导数,利用导数判断确定函数的单调区间,求出值域. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.已知 ， （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【详解】试题分析： ， （1）∵ ，∴ （2） ∵ ，∴ 或 ∴ 或 18.已知函数 ， ，若 在区间 上有最大值 5， 最小值 2． 求 a，b 的值； 的 2 min 1 3 3, , ,2 4 4y t t t y a = + ≥ = ∴− ≤   3 4a ≥ − 1 2,x x x (, ) 0, 1alog x k a a= > ≠ 1 2log log 0a ax x+ = ( )1 2log 0a x x⋅ = 1 2 1x x⋅ = { }2| 2 3 0,A x x x x R= − − ≤ ∈ { }2 2| 2 4 0,B x x mx m x R= − + − ≤ ∈ [ ]1,3A B∩ = m RA C B⊆ m 3m = 5m > 3m < − 1 3{ | }A x x= − ≤ ≤ 2 2{ | }B x m x m= − ≤ ≤ + [1,3]A B∩ = 2 1{ 32 3, m mm − = =+ ≥ { | 2, 2}RC B x x m x m= − +或 RA C B⊆ 2 3m − > 2 1m + < − 5m > 3m < − ( ) 2 2 2f x ax ax b= − + + ( )0a ≠ ( )f x [ ]2,3 ( )1 若 ， 在 上为单调函数，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(－∞，2]∪[6，＋∞) 【解析】 解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. 当 a>0 时，f(x)在[2,3]上为增函数， 故 ，⇒ ⇒ 当 a<0 时，f(x)在[2,3]上为减函数， 故 ⇒ ⇒ (2)∵b<1，∴a＝1，b＝0， 即 f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx ＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调， ∴ ≤2 或 ≥4. ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 19.已知幂函数 为偶函数，且在区间 内是单调递增函 数． （1）求函数 的解析式； （2）设函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取 值范围． 【答案】（1） ；（2） ( )2 1b < ( ) ( )g x f x mx= − [ ]2,4 ( ) ( ) 3 5{ 2 2 f f = = 9 6 2 5{4 4 2 2 a a b a a b − + + = − + + = 1{ 0 a b = = ( ) ( ) 3 2{ 2 5 f f = = 9 6 2 2{4 4 2 5 a a b a a b − + + = − + + = 1{ 3 a b = − = 2 2 m+ 2 2 m + ( ) ( )2 2 3m mf x x m Z− + += ∈ ( )0, ∞+ ( )f x ( ) ( ) 2g x f x x λ= + − ( ) 0g x < [ ]1,1x∈ − λ ( ) 4f x x= ( )3,+∞ 【解析】 【分析】 （1）由幂函数 f（x） （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函 数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3 为偶数，解出即可得出． （2）分类参数 ，依题意， ＞[（x+1）2-1]max． 【详解】（1）∵幂函数 f（x） （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单 调增函数． ∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3 为偶数， 解得 m＝1， ∴f（x）＝x4． （2）函数 g（x） 2x+c＝x2+2x ， g（x）<0，化为 ＞x2+2x＝（x+1）2-1． ∵g（x）<0 对 恒成立， ∴ ＞[（x+1）2-1]max＝3，当且仅当 x＝1 时取等号． ∴实数 c 的取值范围是 ＞3． 【点睛】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.已知函数 对于任意实数 总有 ,当 时, . (1)求 在 上的最大值和最小值. (2)若 有成立,求 的取值范围. 【答案】（1） 在 上的最大值和最小值分别为 和 （2） 【解析】 【分析】 (1)先判断函数 在 上是减函数可知 在 上也是减函数,易求 , 从而可求得 在 上的最大值和最小值； 2 2 3m mx− + += λ λ 2 2 3m mx− + += ( )f x= + λ− λ [ ]1,1x∈ − λ λ ( )f x ,x y R∈ ( ) ( ) ( )x f x yyf f+ = + 0x > ( ) 21 3f = − ( )f x [ ]3,3− ( ) ( )2 4f x f x+ − ≤ x ( )f x [ ]3,3− 2 2− [ 2, )− +∞ ( )f x R ( )f x [ ]3,3− (3) 2f = − ( )f x [ ]3,3− (2)由 可得 ,再由 可得 ,利用函数的单调性的定义可解得求 的取值范围. 【详解】解：(1)任取 且 ,则 , 由 时, ,得 , 由 , 得 , 所以 在 上是减函数； 令 可得 , 令 可得 , 令 得 ,解得 , 令 可得 , 由单调性可得 在 上的最大值和最小值分别为 和 . (2)令 可得 , 等价于 , 由函数的单调性可得 ,解得 . 即 的取值范围是 【点睛】本题考查抽象函数及其应用,突出考查函数的奇偶性、单调性与最值的综合应用,考 查转化思想与方程思想的综合应用,属于中档题. 21.旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 15000 元.旅游团中的每人的飞 机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过 35 人时，飞机票每张收费 800 元； 若旅游团的人数多于 35 人，则给予优惠，每多 1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人 数最多有 60 人.设旅行团的人数为 人，飞机票价格为 元，旅行社的利润为 元. ( 3) 2f − = ( )6 4f − = ( ) ( ) ( )x f x yyf f+ = + ( ) ( ) ( )22 2f x f x f x x=+ − − x 1 2,x x R∈ 1 2x x< 2 1 0x x− > 0x > ( ) 0f x < ( )2 1 0f x x− < ( ) ( ) ( )f x f y f x y+ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1 1f x f x x x f x x f x f x  = − + = − + < ( )f x ( , )− ∞ +∞ ( ) 21 3f = − 1x y= = ( ) ( ) ( ) ( ) 42 1 1 2 1 3f f f f= + = = − 1, 2x y= = ( ) ( ) ( )3 1 2 2f f f= + = − 0x y= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f+ = ( )0 0f = 3, 3x y= − = ( ) ( ) ( )3 3 0 0f f f− + = = ( )3 2f∴ − = ( )f x [ ]3,3− 2 2− 3x y= = − ( ) ( ) ( )6 3 3 4f f f− = − + − = ( ) ( )2 4f x f x∴ + − ≤ ( ) ( )2 2 6f x f− ≤ − 2 2 6x − ≥ − 2x ≥ − x [ 2, )− +∞ x y Q （1）写出飞机票价格 元与旅行团人数 之间的函数关系式； （2）当旅游团的人数 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润. 【答案】(1) ；(2) 或 58 时，可获最大利润 为 18060 元. 【解析】 试题分析：（I）依题意得，当 1≤x≤35 时，y=800，当 35＜x≤60 时，y=800﹣10（x﹣35） =﹣10x+1150，由此能求出飞机票价格元与旅行团人数 x 之间的函数关系式． （II）设利润为 Q，则 ，由此能求出 旅行社获得最大利润时的旅行团人数和最大利润． 试题解析： （1）依题意得， （2）设利润为 ，则 当 且 时， 当 且 时， ∴ 或 58 时，可获最大利润为 18060 元. 22.已知实数 满足 且 （1）求实数 的取值范围. （2）求 的最大值和最小值，并求出此时 的值. 【答案】（1） （2） ; 或 【解析】 【分析】 (1)由题意求解关于 的二次不等式即可确定函数的定义域； y x x ( ) ( ) 800 1 35 10 1150 35 60 x x Ny x x x N  ≤ ≤ ∈= − + < ≤ ∈ 且 且 57x = Q = ( ) ( )2 800 15000 1 35 10 1150 15000 35 60 x x x N x x x x N  − ≤ ≤ ∈− + − < ≤ ∈ 且 且 ( ) ( ) 800 1 35 10 1150 35 60 x x Ny x x x N 且 且  ≤ ≤ ∈= − + < ≤ ∈ Q 15000Q y x= ⋅ − = ( ) ( )2 800 15000 1 35 10 1150 15000 35 60 x x x N x x x x N  − ≤ ≤ ∈− + − < ≤ ∈ 且 且 1 35x≤ ≤ x N∈ max 800 35 15000 13000Q = × − = 35 60x< ≤ x N∈ 2 max 115 3612510 2 2Q x = − − +   57x = x 2 4 1103 3 9 03 x x− −− ⋅ + ≤ ( ) 2 2log log2 2 x xf x = ⋅ x ( )f x x [ ]2,4 ( )min 1= 8f x − 2 2x = ( )max 0f x = 2x = 4x = 23x− (2)由题意，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值和函数取得最值时自变量的 取值即可. 【详解】（1）由 可得 ，即 故实数 的取值范围是 （2） ， 令 ，则 ， ， 在 上递减，在 上递增， ， 此时 解得 ， ， 此时 或 即 或 . 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次 函数 问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向； ②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 的 2 4 1103 3 9 03 x x− −− ⋅ + ≤ 2 4 23 10 3 9 0x x− −− ⋅ + ≤ ( )( )2 2 23 1 3 9 0 1 3 9 2 4x x x x− − −− − ≤ ∴ ≤ ≤ ∴ ≤ ≤ x [ ]2,4 ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1 11 1 1 22 2 2 2 x xf x log log log x log x log x log x = ⋅ = − − = − −   2log x t= [ ]1,2t ∈ ( ) ( ) ( )( ) 21 1 3 11 22 2 2 8f x g t t t t ∴ = = − − = − −   ( )g t 31, 2      3 ,22      ( ) ( ) 3 1 2 8min minf x g t g  ∴ = = = −   2 3 2log x = 2 2x = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0max maxf x g t g g= = = = 2 1log x = 2 2log x = 2x = 4x =