2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：11-5　变量间的相关关系、统计案例（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：11-5　变量间的相关关系、统计案例（讲解部分）

11.5 　变量间的相关关系、统计案例 高考理数 考点一    变量间的相关关系 考点清单 考向基础 1.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系. 与函数关系不同, 相关关系是一种非确定性关系. (2)在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种 相关关系称为 正相关 ;若点散布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相 关关系称为 负相关 . 2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一 条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (2)回归直线方程 ①最小二乘法:通过求 Q =   ( y i - bx i - a ) 2 的最小值而得到回归直线的方法,即 使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做 最小二乘 法 . ②回归方程:方程   =   x +   是两个具有线性相关关系的变量的一组数据( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ), … ,( x n , y n )的回归方程,其中   ,   是待定参数.   其中   =     (3)相关系数 r   ②当 r >0时,表明两个变量 正相关 ; 当 r <0时,表明两个变量 负相关 . r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强; r 的绝对值越接近 于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.当 r 的绝对值大于0.75时, 认为两个变量有很强的线性相关关系. 考向突破 考向    线性回归方程的求解与运用 例     (2019广东深圳一模,4)已知某产品的销售额 y (万元)与广告费用 x (万 元)之间的关系如下表: 　　若求得其线性回归方程为   =6.5 x +   ,则预计当广告费用为6万元时的 销售额为   (　　) A.42万元　　　　    B.45万元　　　　    C.48万元　　　　    D.51万元 x (万元) 0 1 2 3 4 y (万元) 10 15 20 30 35 解析　 由题意得   =   =2,   =   =22,∵   =6.5 x +   , ∴   =22-6.5 × 2=9,则   =6.5 x +9,当 x =6时,   =6.5 × 6+9=48.故选C. 答案     C 考点二    独立性检验 考向基础 1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. 2.列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的可能取值分别为{ x 1 , x 2 }和{ y 1 , y 2 },其样本频数列联表(称为2 × 2列 联表)为: 可构造一个随机变量 K 2 =   ,其中 n = a + b + c + d 为样本容量. y 1 y 2 总计 x 1 a b a + b x 2 c d c + d 总计 a + c b + d a + b + c + d 3.独立性检验 利用独立性假设、随机变量 K 2 来确定是否有一定把握认为“两个分类变 量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量 X 和 Y 是否有关系的判断标准: 统计学研究表明:当 K 2 ≤ 3.841时,认为 X 与 Y 无关; 当 K 2 >3.841时,有95%的把握说 X 与 Y 有关; 当 K 2 >6.635时,有99%的把握说 X 与 Y 有关; 当 K 2 >10.828时,有99.9%的把握说 X 与 Y 有关. 考向突破 考向    独立性检验 例     (2019东北师大、重庆一中等3月联考,11)2018年,国际权威机构IDC发 布的全球手机销售报告显示:华为突破2亿台出货量,超越苹果的出货量,首 次成为全球第二,华为无愧于中国最强的高科技企业.华为业务CEO余承东 明确表示,华为的目标就是在2021年前,成为全球最大的手机厂商.为了解 华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关,对100名华为 手机使用者和苹果手机使用者进行统计,统计结果如下表: 　　手机品牌 性别　　　     华为 苹果 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 　　根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关 系,则下列结论正确的是   (　　) 附: K 2 =   A.没有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关 B.有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关 C.有95%的把握认为使用哪款手机与性别无关 D.以上都不对 P ( K 2 ≥ k ) 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解析 　由表可知 a =30, b =15, c =45, d =10, n =100, 则 K 2 =   ≈ 3.030<3.841, 故没有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关,故选A. 答案     A 方法1      回归直线方程的求解与运用 1.求线性回归直线方程的步骤 2.(1)当已知回归直线方程(方程中无参数)进行预测时,把自变量代入回归 直线方程即可对因变量进行估计. 方法技巧 (2)若回归直线方程中有参数,则根据回归直线一定经过点(   ,   )求出参数 值,得到回归直线方程,进而完成预测. 例1     (2019广东深圳第二次调研,18)某网店经销某商品,为了解该商品的 月销量 y (单位:千件)与当月售价 x (单位:元/件)之间的关系,收集了5组数据 进行了初步处理,得到下表: (1)统计学中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱,若| r |∈ [0.75,1],则认为相关性很强;若| r |∈(0.25,0.75),则认为相关性一般;若| r |∈[0, 0.25],则认为相关性较弱.请计算相关系数 r ,并说明 y 与 x 之间的线性相关关系 的强弱(精确到0.01); (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)根据(2)中的线性回归方程,估计当售价 x 定为多少时,月销售额最大?(月 销售额=月销售量 × 当月售价) x 5 6 7 8 9 y 8 6 4.5 3.5 3 参考数据:   ≈ 12.85. 参考公式:相关系数 r =   , 线性回归方程   =   x +   中,   =   ,   =   -     . 解析　 (1)由表中数据和附注中的参考数据得,   =7,   =5,   (1分)   ( x i -   ) 2 =10,   ( y i -   ) 2 =16.5.   (2分)   ( x i -   )( y i -   )=-12.5, r =   ≈ -0.97.   (3分) 因为| r | ≈ |-0.97|∈[0.75,1], 所以说明 y 与 x 的线性相关关系很强.   (5分) (2)由(1)可知   =   =   =-1.25,   (7分) ∴   =   -     =5-(-1.25) × 7=13.75,   (8分) ∴   =-1.25 x +13.75.   (9分) (3)由题意可知,月销售额的预估值   =1 000·   · x =-1 250 x 2 +13 750 x (元)或者   =   · x =-1.25 x 2 +13.75 x (千元).   (10分) 则当 x =5.5时,   取到最大值, 即该店主将售价定为5.5元/件时,可使网店的月销售额最大.(12分) 方法2      独立性检验 独立性检验的具体步骤: 1.根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概 率的上界 α ,然后查临界值表确定临界值 k 0 . 2.利用公式 K 2 =   计算随机变量 K 2 的观测值 k . 3.如果 k ≥ k 0 ,就推断“ X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 α ;否 则,就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“ X 与 Y 有关系”,或 者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“ X 与 Y 有关系”. 例2     (命题标准样题,18)为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性 别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从 全校学生中抽取了容量为 n 的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数 据如下: (1)求 m , n ; (2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时 与性别有关? (3)从该校学生中随机调查60名学生,一周参加社区服务时间超过1小时的 人数记为 X ,以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 m 发生的概率,求 X 的分布列和数学期望. 附: 　     K 2 =   . P ( K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解析 　(1)由已知,得该校有女生400人,故   =   ,得 m =8. 从而 n =20+8+12+8=48. (2)作出列联表如下: 　     K 2 =   =   ≈ 0.685 7<3.841. 所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小 时与性别有关. 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 故 X ~ B   , X 的分布列为 P ( X = k )=     ×   , k =0,1,2, … ,60. X 的数学期望 EX =60 ×   =40. (3)根据以上数据,学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率 P =   =   ,