数学理卷·2018届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考（2018

数学理卷·2018届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考（2018

江西省八所重点中学2018年高三下学期联考数学理 满分150分 考试时间120分钟 命题人：吉安一中 罗爱军 王雪松 抚州一中 李振 吴袁宏 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.设集合，，则=（ ） .‎ A. B.或 C. D. ‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A.3 B. C. 9 D.10‎ ‎3.已知实数满足：，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知命题对任意，总有；命题直线，，若，则或；则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.在区域内任意取一点，则的概率是（ ）‎ A. B. C. 　 D. ‎ ‎6.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为8、2，则输出的n=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知在锐角中，角的对边分别为,且. 则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（ ）‎ A.4 B． C． D．‎ ‎10.已知点是抛物线的准线上一点，为抛物线的焦点，为抛物线上的点，且，若双曲线中心在原点，是它的一个焦点，且过点，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. B． C． D． ‎ ‎11.如图：在正方体中，点是的中点，动点在其表面上运动，且与平面的距离保持不变，运行轨迹为，当从点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.已知平面向量的夹角为，且．则 ．‎ ‎14.已知，则的展开式中，常数项为 ． ‎ ‎15.如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是 .‎ ‎16.对于任一实数序列，定义为序列，它的第项是，假定序列的所有项都是，且，则 ．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 5×12+10=70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 数列为正项数列，，且对N，都有；‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 非常满意 满意 合计 合计 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区的名观众，得到如下的列联表：‎ 已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.‎ ‎(1)现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的 地区的人数各是多少.‎ ‎(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.‎ ‎(3)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.‎ 附：参考公式：‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，四边形为梯形， ，且， 是边长为的正三角形，顶点在上的射影为点，且， ， .‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为，且与在第一象限的交点为．‎ ‎(1)求曲线的方程和点的坐标；‎ ‎(2)若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点 与垂直的直线与的另一个交点为．设，试求取值范围．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知 ‎(1)求函数的极值；‎ ‎(2)设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. （本小题满分10分）‎ 已知曲线的参数方程为（为参数）；直线与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知函数, ‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若不等式的解集为, ，且满足,求实数的取值范围 江西省八所重点中学2018届高三联考数学（理科）答案 ‎1—12:AABDBC AADCDD ‎13. 14. 15. 16. 1000‎ ‎17.解：(1)由得，------3分 ‎； ------6分 ‎(2)，------9分 ‎------12分 ‎18. 解：(1)由题意，得，所以，所以，因为，所以，，------2分 A地抽取，B地抽取，------4分 非常满意 满意 合计 合计 ‎(2) ‎ 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. ------8分 ‎(3) 从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为 随机抽取人，的可能取值为 ‎，‎ ‎,‎ ‎------12分 ‎19. 解：（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知， ．‎ 取的中点为，连结， ．‎ 在中， ， ，所以． ------1分 在中， ， ，所以．------2分 所以， ，即．------3分 ‎∵ ‎ ‎∴面．‎ 又面，所以面面．------5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，且 所以 面，且面．以所在直线为轴， 所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ‎ ‎， ， ，‎ ‎ ------8分 设平面， 的法向量分别为，则 ‎，则，------9分 ‎，则， ------10分 ‎，‎ 所以二面角的余弦值为．------12分 ‎20.解：(1)曲线C1的焦点坐标为，曲线C2的焦点坐标为，由与的焦点之间的距离为2，得，解得，∴的方程为．------2分 由，解得，------4分 ‎(2)当直线的斜率不存在时，‎ 由题意可知，，，则，------5分 当直线AB的斜率存在时，‎ ‎∴设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1，‎ 由，得（2k2+1）x+4k（1﹣2k）x+2（1﹣2k）2﹣6=0‎ 则，∵xA=2，∴，------6分 又直线AC的方程为，由，得，则，∵xA=2，∴，------7分 ‎，------8分 同理，------9分 ‎，------10分 即．‎ 综上所述：------12分 ‎21.解： (1)‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的极小值为：，极大值为：；------4分 ‎(2) 由(1)可知当时，函数的最大值为 对于任意，总有成立，等价于恒成立，------6分 ① 时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意. ----9分 ‎②当时，设，，‎ 所以在上单调递增，且，则存在，使得 所以在上单调递减，在上单调递增，又， ‎ 所以不恒成立，不合题意. ----11分 综合①②可知，所求实数的取值范围是.----12分 解法2：用分离参数法，再用若必达法则求函数在处的极限值，从而确定a的范围，给满分 解法3：用来控制，再证明当时恒成立，给满分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.解：(1)因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 故所求方程为…….2分 因为， ，故曲线的极坐标方程为…….5分（两种形式均可）‎ ‎(2)联立和，得，‎ 设、，则，……7分 由，得，‎ 当时，取最大值，故实数的取值范围为……10分 选修4-5：不等式选讲 ‎23.解:(1)可化为 ‎，或，或…….3分 ‎，或，或； ‎ 不等式的解集为；…… 5分 ‎(2)易知；所以，所以在恒成立；‎ 在恒成立； 在恒成立；……7分 ‎ …..10分