2019-2020学年高中数学课时作业23离散型随机变量的方差北师大版选修2-3
课时作业(二十三)
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
答案 D
解析 E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于( )
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
答案 B
解析 E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.
3．设X～B(n，p)，且E(X)＝12，D(X)＝4，则n与p的值分别为( )
A．18， B．12，
C．18， D．12，
答案 C
4．D(ξ－D(ξ))的值为( )
A．无法求 B．0
C．D(ξ) D．2D(ξ)
答案 C
解析 D(ξ)为一常数，利用性质D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
5．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
16
η
0
1
2
P
0.5
0.3
0.2
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙的质量相同 D．无法判定
答案 A
解析 ∵E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7，
由于E(ξ)
D(X1)．在投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目，从获得稳定收益考虑，当p＝0.3时应投资A项目．
15．(2015·佛山一中期末)篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p.
(1)若投篮1次得分记为X，求方差D(X)的最大值；
(2)当(1)中D(X)取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
解析 (1)依题意，X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2p＝－(p－)2＋.
∴当p＝时，D(X)取最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.设投篮5次得分为Y，则Y～B(5，)，
那么P(Y＝4)＝C54()4×＝，
则运动员甲投篮5次得4分的概率为.
►重点班选做题
16
16．已知随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，随机变量Y＝，则D(Y)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D.
答案 C
解析 ∵E(X)，均为常数，
∴D(Y)＝D()＝·D(X)＝1.
17．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
－1
0
1
P
－p
p
求E(X)与D(X)的最大值．
解析 根据题意，得解得0≤p≤.
因为E(X)＝－1×(－p)＋0×p＋1×＝p，
所以当p＝时，E(X)取得最大值，为.
因为D(X)＝(－1－p)2(－p)＋(0－p)2p＋(1－p)2×＝－p2－p＋1＝－(p＋)2＋，故当p＝0时，D(X)取得最大值，为1.
16
课时作业(二十四)
1．已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
0.4
0.2
0.4
则E(X)和D(X)分别等于( )
A．1和0 B．1和1.8
C．2和2 D．2和0.8
答案 D
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3
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C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1
答案 B
3．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4x＋3)的值为( )
A．64 B．256
C．259 D．320
答案 B
解析 由X～B(100，0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.
4．(2015·九江六校期末联考)袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次摸取一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为X，则X的方差D(X)＝( )
A. B.
C．1 D．2
答案 C
解析 每次取球时，黄球被取出的概率为，把4次取球看作4次独立重复试验，黄球出现的次数X～B(4，)，则D(X)＝4××＝1.
5．随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是( )
A. B.
C. D．1
答案 A
解析 因为a＋b＋c＝1，2b＝a＋c，所以b＝，a＋c＝.
又因为E(X)＝，所以＝－a＋c.故a＝，c＝.
D(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
6．已知X的分布列为( )
X
－1
0
1
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P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为( )
A．－ B.
C. D.
答案 D
解析 E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，所以D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝＝.
7．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x10，故p＝0.2.
(2)ξ可能的取值为0，1，2.
若该批产品共100件，由(1)知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
16
ξ
0
1
2
P
所以ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
13．工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．
(1)求报废的合格品少于2件的概率；
(2)求ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，
而P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
故P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
由(1)知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
14．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
思路 (1)根据相互独立事件及对应事件的概率公式求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)根据企业获得的资金的数目及独立事件概率公式求出其相应的概率，列出分布列，利用期望公式求期望．
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解析 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
1．设10≤x1D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)0，即D(ξ1)>D(ξ2)．
2．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延
误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7.
又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6，
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
3．一种电脑屏幕保护画面，只有符合“O”和“△”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O”和“△”之一，其中出现“O”的概率为p，出现“△”的概率为q，若第k次出现“O”，则记ak＝1；出现“△”，则记ak＝－1.令Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(1)当p＝，q＝时，求S4＝2的概率；
(2)当p＝q＝时，记ξ＝|S4|，求ξ的分布列及数学期望．
解析 (1)“S4＝2”即电脑屏幕变化4次(相当于4次独立重复试验)，其中“O”出现3次，
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“△”出现1次，∴其概率为：P(S4＝2)＝C43()3×＝，
即S4＝2的概率为.
(2)由题知ξ的取值有：0，2，4.
记：y表示电脑变化4次中“O”出现的次数，则y～B(4，)，P(ξ＝0)＝P(y＝2)＝C42()2()2＝，P(ξ＝2)＝P(y＝1)＋P(y＝3)
＝C41()×()3＋C43()3×()＝＝，P(ξ＝4)＝P(y＝0)＋P(y＝4)
＝()4＋()4＝，∴ξ的分布列为：
ξ
0
2
4
P
ξ的期望为：E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝1＋＝.
4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
解析 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一随机变量的可能取值为6，9，12.
ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则
P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则
P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则
P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
5．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，
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企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现
故障时间x(年)
02
02
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解析 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
6．某单位在应聘会上，设置了难度不同的甲、乙两个系列的问题，每个系列都有A和B两个问题，应聘时每个应聘者自选一个系列问题，两个问题的得分之和为该应聘者的成绩．假设每个应聘者完成每个系列中的两个问题的得分是相互独立的，根据应聘的个人综合水平可知，某应聘者能回答甲系列和乙系列问题的情况如下表：
甲系列：
问题
A
B
16
得分
100
80
40
10
概率
乙系列：
问题
A
B
得分
90
50
20
0
概率
现该应聘者最后一个应聘，其之前应聘者的最高得分为118分．
(1)若该应聘者希望成为应聘者中的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其成为第一名的概率；
(2)若该应聘者选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望E(X)．
解析 (1)若该应聘者希望获得第一名，应选择甲系列．理由如下，选择甲系列最高得分为100＋40＝140>118，可能成为第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<118，不可能成为第一名．
选甲系列成为第一名的概率为P(甲为第一名)＝×＋×＝.
(2)X的取值为：50，70，90，110.
P(X＝50)＝，P(X＝70)＝×＝，P(X＝90)＝×＝，
P(X＝110)＝×＝.
∴E(X)＝104.
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