专题5-2 热点题型一 任意角、弧度制及任意角的三角函数-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-2 热点题型一 任意角、弧度制及任意角的三角函数-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型一 任意角、弧度制及任意角的三角函数 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．角的概念 ‎(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．‎ ‎(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．‎ ‎(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．‎ ‎2．弧度制 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.‎ ‎(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.‎ ‎(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.‎ ‎3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．‎ 三个三角函数的初步性质如下表：‎ 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ‎＋‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ cos α R ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ tan α ‎{α|α≠kπ＋，k∈Z}‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.‎ 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 类型一 角的集合表示及象限角的判定 ‎【典例1】【2016·合肥模拟】若α为第二象限角,则+的值是 ‎ ‎【答案】 0‎ ‎【解析】α为第二象限角,则sinα>0,=1,tanα<0,=-1,所以+=0.‎ ‎【典例2】【2016武威市六中期末】设角属于第二象限，且，则角属于 第 象限 ‎【答案】 三 ‎【解析】 因为角属于第二象限，所以角属于第一象限或第三象限，又，所以角属于第三象限．‎ ‎【变式训练】【2016东北师大附中二模】若是第三象限角，且，则是 第 象限角 ‎【答案】B ‎【解析】因为是第三象限角,即,.‎ ‎,‎ ‎.所以是第二象限角.故B正确.‎ ‎【一题多解】‎ ‎(1)设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么下列关系正确的是 ．‎ ‎①M＝N；②M⊆N；③N⊆M；④M∩N＝∅.‎ ‎(2)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是 ．‎ ‎【答案】　(1)②　(2)③‎ ‎【解析】　(1)‎ ‎【解法一】　由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，‎ N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.‎ ‎、【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．‎ ‎2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．‎ 类型二 三角函数的定义 ‎【典例3】【2015宁波市二模】若角终边所在的直线经过，为坐标原点，则 ， ‎ ‎【答案】1；‎ ‎【解析】： ；若在其终边上，则；若在其终边延长线上，则，综上 ‎.‎ ‎【典例4】【2015高考上海】已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为 ．‎ 思维点拨　点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系．‎ ‎【解析】如图所示，‎ 过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，‎ 则∠PCB＝2－，所以PB＝sin(2－)＝－cos 2，‎ CB＝cos(2－)＝sin 2，‎ 所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，‎ 所以＝(2－sin 2,1－cos 2)．‎ 温馨提醒　解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 用定义法求三角函数值的两种情况 ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；‎ ‎(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．‎ 类型三 扇形的弧长及面积公式 ‎【典例5】【2016·潍坊模拟】已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是 ‎ ‎【答案】 4‎ ‎【解析】设扇形的弧长为l,则l·2=8,即l=8,‎ 所以扇形的圆心角的弧度数为=4.‎ ‎【变式训练】【2015上海市高境一中期末】一个圆锥的侧面展开图是圆心角为；‎ 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为，由得圆锥母线与底面所成角的余弦值为.‎ ‎【典例6】【2015吉安一中期中】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10。‎ ‎（1）求弦AB所对的圆心角的大小。‎ ‎（2）求所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积S。‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【变式训练】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；‎ ‎(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；‎ ‎(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ ‎【解析】　(1)α＝60°＝ rad，‎ ‎∴l＝|α|·R＝×10＝ (cm)．‎ ‎(2)由题意得⇒(舍去)， 故扇形圆心角为.‎ ‎(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.‎ 即当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大．‎ ‎【思维升华】‎ ‎　应用弧度制解决问题的方法 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 弧度制应用的关注点 ‎(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．‎ ‎(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．‎ ‎【失误与防范】‎ ‎1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．‎ ‎2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‎ ‎3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．‎