2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-4-1等差与等比数列

2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-4-1等差与等比数列

一、选择题 ‎1．[2015·重庆高考]在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．6‎ 答案　B 解析　设数列{an}的公差为d，由a4＝a2＋2d，a2＝4，a4＝2，得2＝4＋2d，d＝－1，∴a6＝a4＋2d＝0.故选B.‎ ‎2．[2016·山西四校联考]等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)‎ A．31 B．36‎ C．42 D．48‎ 答案　A 解析　由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且公比q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A.‎ ‎3．[2016·唐山统考]设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1或2‎ 答案　B 解析　设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6‎ ‎＝7k，S4＝3k，∴＝＝，故选B.‎ ‎4．[2015·浙江高考]已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)‎ A．a1d>0，dS4 >0 B．a1d<0，dS4<0‎ C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0‎ 答案　B 解析　由a＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)＝0，又d≠0，∴a1＝－d，则a1d＝－d2<0，又∵S4＝4a1＋6d＝－d，∴dS4＝－d2<0，故选B.‎ ‎5．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，则＋的最小值为(　　)‎ A．2 B．16‎ C. D. 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q，a3＝a2＋2a1⇒q2＝q＋2⇒q＝－1(舍)或q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a⇒a·2m＋n－2＝16a⇒m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n＝4时，＋取最小值.‎ ‎6．[2016·吉林长春质量监测]设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设bn＝nSn＋(n＋2)an，则b1＝4，b2＝8，{bn ‎}为等差数列，所以bn＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋an＝4.‎ 当n≥2时，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，所以an＝an－1，即2·＝，又因为＝1，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以＝n－1(n∈N*)，an＝(n∈N*)，故选A.‎ 二、填空题 ‎7．[2015·广东高考]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ 答案　10‎ 解析　利用等差数列的性质可得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，从而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，故a5＝5，所以a2＋a8＝2a5＝10.‎ ‎8．[2016·辽宁质检]设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝________.‎ 答案　66‎ 解析　依题an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66.‎ ‎9．[2016·云南统考]在数列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．‎ 答案　 解析　由题意可得，a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又an>0，∴2an＋1－anan＋1－1＝0，又2－an≠0，∴an ‎＋1＝⇒an＋1－1＝，又可知an≠1，∴＝－1，∴是以为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝＝－，∴a1＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝.‎ 三、解答题 ‎10．[2016·蚌埠质检]已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3＝3，S3＝9.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2，且{bn}为递增数列，若cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1.‎ 解　(1)设该等比数列的公比为q，则根据题意有3·＝9，从而2q2－q－1＝0，‎ 解得q＝1或q＝－.‎ 当q＝1时，an＝3；‎ 当q＝－时，an＝3·n－3.‎ ‎(2)证明：若an＝3，则bn＝0，与题意不符，‎ 故an＝3n－3，‎ 此时a2n＋3＝3·2n，∴bn＝2n，符合题意．‎ ‎∴cn＝＝＝－，‎ 从而c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－<1.‎ ‎11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．‎ 解　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.‎ 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，‎ 解得a＝5.‎ 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.‎ 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，‎ 解得d＝2或d＝－13(舍去)．‎ 故{bn}的第3项为5，公比为2，‎ 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，‎ 解得b1＝.‎ 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.‎ ‎(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.‎ 所以S1＋＝，＝＝2.‎ 因此是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎12．[2016·西安质检]等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求＋＋…＋.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，{bn}的公比为q，‎ 则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 依题意有 解得或(舍去)‎ 故an＝n，bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，‎ ＝＝2，‎ ‎∴＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2＝.‎