2020学年高二数学上学期期中试题 新版 新人教版

2020学年高二数学上学期期中试题 新版 新人教版

‎2019学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷 ‎（时间120分钟 满分150分）‎ 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．‎ ‎1．已知函数则 ． ‎ ‎2．若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数的取值范围为 ．‎ ‎3．若直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为________________. ‎ ‎4．已知圆的方程为，则经过点的圆的切线方程为__________________． ‎ ‎5．若不等式组的解集中有且仅有有限个实数，则的值为 ． ‎ ‎6．已知函数 ，则方程的解= _____________．‎ ‎7．已知直线 和的夹角为，则的值为 . ‎ ‎8．若实数满足则的取值范围是__________. ‎ ‎9．在数列中,已知，则过点和点的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)‎ ‎10．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．‎ ‎11．已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标 的最大值是__ ____． ‎ - 141 -‎ ‎12．定义变换T将平面内的点变换到平面内的点．‎ 若曲线经变换T后得到曲线，曲线经变换T后得到曲线， ，依次类推，曲线经变换T后得到曲线，当时，记曲线与轴正半轴的交点为和,记．某同学研究后认为曲线具有如下性质：①对任意的，曲线都关于原点对称；②对任意的，曲线恒过点；③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部；④记矩形的面积为，则.其中所有正确结论的序号是 .‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．是“方程表示椭圆”的 （ ） ‎ ‎ （A）充要条件 （B）充分不必要条件 ‎ （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎14．已知向量满足，，的夹角为120°，则等于 （ ）‎ ‎ （A）3 （B） （C） （D）5‎ ‎15．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（ ）‎ ‎（A）（ （B）（ （C）（ （D）‎ ‎16．如图，已知,圆心在上、半径为的圆在时与相切于点,圆沿以的速度匀速向上移动,圆被直线所截上方圆弧长记为,令,则与时间(,单位:)的函数的图像大致为( ) ‎ - 141 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．‎ 已知向量，，函数， ‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在△中，、、分别是角、、的对边，为△外接圆的半径，且，，，＞，求、的值．‎ - 141 -‎ ‎19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分.‎ 如图，已知直线为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在处发现了北偏东海面上处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜。已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜。‎ ‎（1）已知海里，求走私船能被截获的点的轨迹；‎ ‎（2）若与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即能截获走私船的区域与公海不相交），设,则的最远距离是多少海里？‎ - 141 -‎ ‎20．(本题满分16分)第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分.‎ 已知椭圆以原点为中心,其中一个焦点为,长轴长与焦距之比为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于两点,若直线的斜率都存在,并记为,.试探究的值是否与点及直线有关,并证明你的结论；‎ ‎（3）设椭圆与轴交于两点,点在线段上,点在椭圆上运动.若当点的坐标为时,取得最小值,求实数的取值范围.‎ ‎21．(本题满分18分)第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分.‎ 设，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为，且关于的不等式的解集为．各项均为正数的数列的前项和为，点列在函数的图像上．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ - 141 -‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）令求数列的前2018项中满足的所有项数之和．‎ - 141 -‎ ‎2019学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷 ‎（时间120分钟 满分150分）‎ 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．‎ ‎1．已知函数 则 ． 1‎ ‎2．若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数的取值范围为 ．‎ ‎3．若直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为____. ‎ ‎4．已知圆的方程为，则经过点的圆的切线方程为________． ‎ ‎5．若不等式组的解集中有且仅有有限个实数，则的值为 ． 2018‎ ‎6．已知函数 ，则方程的解= _____________． 1‎ ‎7．已知直线 和的夹角为，则的值为 . 或 ‎8．若实数满足则的取值范围是__________. ‎ ‎9．在数列中,已知，则过点和点的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果) ‎ ‎10．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________． 6‎ - 141 -‎ ‎11．已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标 的最大值是__ ____． 4‎ ‎12．定义变换T将平面内的点变换到平面内的点．‎ 若曲线经变换T后得到曲线，曲线经变换T后得到曲线， ，依次类推，曲线经变换T后得到曲线，当时，记曲线与轴正半轴的交点为和,记．某同学研究后认为曲线具有如下性质：‎ ‎①对任意的，曲线都关于原点对称；②对任意的，曲线恒过点；‎ ‎③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部；‎ ‎④记矩形的面积为，则 其中所有正确结论的序号是 . ③④‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．是“方程表示椭圆”的 （ C ） ‎ ‎ （A）充要条件 （B）充分不必要条件 ‎ （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎14．已知向量满足，，的夹角为120°，则等于 （ C ）‎ ‎ （A）3 （B） （C） （D）5‎ ‎15．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（ C ）‎ ‎（A）（ （B）（ （C）（ （D）‎ ‎16．如图，已知,圆心在上、半径为的圆在时与相切于点,圆沿以的速度匀速向上移动,圆被直线所截上方圆弧长记为,令,则与时间(‎ - 141 -‎ ‎,单位:)的函数的图像大致为 ( B ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ 解：（1）=‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．‎ 已知向量，，函数，‎ - 141 -‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在△中，，，分别是角，，的对边，为△外接圆的半径，且，，，＞，求，的值．‎ 解：（1）‎ 所以的递增区间是 ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 是三角形内角，‎ ‎，即 ‎，‎ ‎∴ 即：‎ - 141 -‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分.‎ 如图，已知直线 - 141 -‎ 为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在处发现了北偏东海面上 - 141 -‎ 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜。已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜。‎ ‎（1）已知海里，求走私船能被截获的点 - 141 -‎ 的轨迹；‎ ‎（2）若与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即能截获走私船的区域与公海不相交），设 - 141 -‎ ‎,则的最远距离是多少海里？‎ 解：（1）点 ‎ - 141 -‎ 则 ‎ ‎， ‎ - 141 -‎ 轨迹是以为圆心、4为半径的圆. ‎ ‎（2）易得 - 141 -‎ ‎， ‎ - 141 -‎ 设截获地点为点 - 141 -‎ ‎，‎ - 141 -‎ ‎，则 - 141 -‎ ‎，由 - 141 -‎ - 141 -‎ - 141 -‎ ‎， ‎ 且此轨迹与直线 - 141 -‎ 不相交， ‎ 则圆心 - 141 -‎ 到直线 - 141 -‎ 的距离 - 141 -‎ ‎ ‎ ‎ 由 - 141 -‎ - 141 -‎ 在直线的同侧，故 - 141 -‎ ‎， ‎ 故圆心 - 141 -‎ - 141 -‎ 到直线 - 141 -‎ 的距离， ‎ 所以 - 141 -‎ ‎. ‎ ‎20．(本题满分16分)第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分.‎ 已知椭圆 - 141 -‎ 以原点为中心,其中一个焦点为 - 141 -‎ ‎,长轴长与焦距之比为 - 141 -‎ ‎.‎ ‎（1）求椭圆 - 141 -‎ 的标准方程；‎ ‎（2）设点 - 141 -‎ - 141 -‎ 是椭圆上的任意一点,过原点的直线 - 141 -‎ - 141 -‎ 与椭圆 - 141 -‎ 相交于两点,若直线 - 141 -‎ 的斜率都存在,并记为 - 141 -‎ ‎,‎ - 141 -‎ - 141 -‎ ‎.试探究的值是否与点 - 141 -‎ - 141 -‎ 及直线有关,并证明你的结论；‎ ‎（3）设椭圆 - 141 -‎ 与 - 141 -‎ - 141 -‎ 轴交于两点,点 - 141 -‎ - 141 -‎ 在线段 - 141 -‎ 上,点 - 141 -‎ 在椭圆上运动.若当点 - 141 -‎ - 141 -‎ 的坐标为 - 141 -‎ 时,取得最小值,求实数 - 141 -‎ 的取值范围.‎ - 141 -‎ 解:(1) . ‎ - 141 -‎ ‎(2)因为过原点的直线与椭圆相交的两点 - 141 -‎ 关于坐标原点对称,‎ - 141 -‎ ‎ 所以可设. ‎ - 141 -‎ 因为在椭圆上,所以有 ‎ - 141 -‎ ‎, ………①， ‎ - 141 -‎ ‎, ………②‎ - 141 -‎ ‎①-②得 . ‎ - 141 -‎ ‎ 又,‎ - 141 -‎ ‎, ‎ - 141 -‎ 所以, ‎ - 141 -‎ 故的值与点 - 141 -‎ 的位置无关,与直线 - 141 -‎ 也无关. ‎ - 141 -‎ ‎(3)由于 - 141 -‎ 在椭圆上运动,故 - 141 -‎ ‎,且 - 141 -‎ - 141 -‎ ‎.因为,‎ - 141 -‎ 所以. ‎ - 141 -‎ ‎ 由题意,点 - 141 -‎ 的坐标为 - 141 -‎ 时,取得最小值,即当 - 141 -‎ 时,‎ - 141 -‎ 取得最小值,而 - 141 -‎ - 141 -‎ ‎.故有 - 141 -‎ ‎.解得. ‎ ‎ 又椭圆 - 141 -‎ 与 - 141 -‎ - 141 -‎ 轴交于两点的坐标为 - 141 -‎ ‎、‎ - 141 -‎ - 141 -‎ ‎,而点 - 141 -‎ 在线段上,‎ - 141 -‎ 即 - 141 -‎ ‎,亦即,所以实数 - 141 -‎ 的取值范围是 - 141 -‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎21．(本题满分18分)第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分.‎ - 141 -‎ 设，把三阶行列式 - 141 -‎ 中第一行第二列元素的余子式记为 - 141 -‎ - 141 -‎ ‎，且关于的不等式 - 141 -‎ 的解集为 - 141 -‎ ‎．各项均为正数的数列 - 141 -‎ 的前 - 141 -‎ - 141 -‎ 项和为 - 141 -‎ ‎，点列在函数 - 141 -‎ 的图像上．‎ ‎（1）求函数 - 141 -‎ 的解析式；‎ ‎（2）若 - 141 -‎ ‎，求 - 141 -‎ 的值；‎ ‎（3）令 - 141 -‎ - 141 -‎ ‎，求数列的前2018项中满足 - 141 -‎ 的所有项数之和．‎ 解：（1）‎ - 141 -‎ ‎，∵不等式 - 141 -‎ - 141 -‎ 的解集为，‎ - 141 -‎ ‎∴‎ - 141 -‎ ‎，即；‎ ‎（2）由 - 141 -‎ ‎，得 - 141 -‎ ‎，‎ 化简得 - 141 -‎ ‎，∴‎ - 141 -‎ ‎，又 - 141 -‎ ‎，得 - 141 -‎ ‎，所以 - 141 -‎ ‎．故 - 141 -‎ ‎，∴‎ - 141 -‎ ‎；‎ ‎（3）在数列 - 141 -‎ 的前2018项中，当 - 141 -‎ 为奇数时，‎ - 141 -‎ ‎，得 - 141 -‎ ‎；当 - 141 -‎ 为偶数时，要满足 - 141 -‎ ‎，则 - 141 -‎ ‎．∴‎ - 141 -‎ 满足的所有项数之和为 - 141 -‎ ‎．‎ ‎ ‎ - 141 -‎