山东省青岛市市南区青岛第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省青岛市市南区青岛第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年度第二学期期中模块检测 高二数学 一、选择题（本题满分60分，共有12道小题，每小题5分）‎ ‎1.己知为虚数单位，复数则复数的虚部为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则得，即可得到其虚部.‎ ‎【详解】由题：，，‎ 所以复数的虚部为1.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查复数的概念辨析和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，准确识别虚部概念，避免出错.‎ ‎2.用数学归纳法证明时，应先证明（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数学归纳法，第一步应该证明n=5命题成立.‎ ‎【详解】利用数学归纳法证明时，‎ 第一步应该先证明n=5命题成立，‎ 即.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查数学归纳法的理解辨析，关键在于熟练掌握数学归纳法证明步骤.‎ ‎3.若函数的导函数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的求导法则可得.‎ ‎【详解】函数 导函数为.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求函数导函数，关键在于熟练掌握求导公式，根据公式和求导法则求导函数.‎ ‎4.为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关，抽取了部分学生作为样本，统计后作出如图所示的等高条形图，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 喜欢使用手机支付与性别无关 B. 样本中男生喜欢使用手机支付的约 C. 样本中女生喜欢使用手机支付的人数比男生多 D. 女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等高条形图可得喜欢使用手机支付与性别有关，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%，女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.‎ ‎【详解】A错误，根据等高条形图，喜欢和不喜欢使用手机支付的比例因性别差距很明显，所以喜欢使用手机支付与性别有关；‎ B错误，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%；‎ 女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.所以C错误，D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查等高条形图的辨析，根据条形图认识喜欢使用手机支付与性别的关系，关键在于准确识图正确辨析.‎ ‎5.若函数存在极值，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出函数的导函数，根据导函数的零点情况分析原函数的单调性即可得到取值范围.‎ ‎【详解】函数存在极值，，‎ 当时，＜0恒成立，单调递减，没有极值点；‎ 当时，＜0得，＞0得，‎ 函数在单调递增，在单调递减，x=是函数的极大值点.‎ 所以 故选：A ‎【点睛】此题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，此类问题还需注意函数有极值点与导函数有零点并不等价.‎ ‎6.若函数的导函数为，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的求导法则，，代入即可求得导数值.‎ ‎【详解】由题：函数的导函数为，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数，根据法则准确计算求解.‎ ‎7.若连续函数的定义域为，其导数为，且，则函数的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据，即可得到的单调性，结合解不等式.‎ ‎【详解】由题：，‎ 构造函数，，，‎ 所以在单调递增，，‎ ‎，即＜0，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查解抽象函数相关不等式，关键在于根据题意准确构造恰当的函数，根据单调性和特殊值求解不等式.‎ ‎8.已知函数的导函数为，且，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意求出导函数，令x=1，即可得解.‎ ‎【详解】由题：函数的导函数为，且，‎ 所以，‎ 令，‎ 解得.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查根据导函数求参数的取值，关键在于熟练掌握导函数的公式和求导法则，根据法则进行计算求解.‎ ‎9.下图是某地区2009年至2018年芯片产业投资额 (单位：亿元)的散点图，为了预测该地区2019年的芯片产业投资额，建立了与时间变量的四个线性回归模型．根据2009年至2018年的数据建立模型①；根据2010年至2017年的数据建立模型②；根据2011年至2016年的数据建立模型③；根据2014年至2018年的数据建立模型④．则预测值更可靠的模型是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图特征根据2014年至2018年的数据建立模型更具有可靠性.‎ ‎【详解】根据散点图可以发现，2013年到2014年出现明显的增长，且前后几年的增长速率差异明显，若要进行对2019年的预测，显然根据2014年至2018年的数据建立模型更具有可靠性.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查根据散点图选取合适的数据建立模型进行预测，关键在于读懂图象，根据图象特征正确判断辨析.‎ ‎10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎11.函数的零点个数为（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，根据导函数判定原函数单调递增，结合，即可得到零点个数.‎ ‎【详解】由题：，‎ ‎，‎ 当且仅当时导函数等于0，‎ 所以在R上单调递增，‎ 又因为 所以函数有且仅有一个零点.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查函数零点问题，根据导函数判断单调性，结合特殊值，判断函数零点的个数.‎ ‎12.若将周长为4的矩形卷成一个圆柱的侧面(无上下底面)，则该圆柱的体积最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令底面圆周长为x，高为y，圆柱的体积为，利用基本不等式求解最大值.‎ ‎【详解】令底面圆周长为x，高为y，则底面圆半径为，‎ 即矩形的长为x，宽为y，x+y=2，x＞0，y＞0，‎ 圆柱的体积为，‎ 当且仅当时，取得等号.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求体积最值问题，关键在于根据题意表示出体积，利用基本不等式求最大值，需要注意考虑等号成立的条件，本题也可构造函数，利用导函数讨论函数的单调性求解最值.‎ 二、填空题（本题满分20分，共有4道小题，每小题5分）‎ ‎13.若函数的图象在点处的切线方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，根据导函数得切线斜率，即可求得切线方程.‎ ‎【详解】， ‎ ‎，即函数的图象在点处的切线斜率为1，‎ 所以切线方程为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求函数在某点处的切线方程，关键在于准确求出导函数.‎ ‎14.观察下列函数及其导函数的奇偶性：，，．若恒满足：，则函数的导函数可能是________（填写正确函数的序号）．‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可以发现奇函数的导函数为偶函数，恒满足：‎ ‎，即为奇函数，其导函数为偶函数，即可判定选项.‎ ‎【详解】，，．它们的导函数分别为：全为偶函数，‎ 根据已知函数的导函数可以发现：奇函数的导函数为偶函数，‎ 若恒满足：，则函数的导函数一定是偶函数，‎ 根据初等函数的基本性质可得：‎ 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是偶函数，‎ 所以可能是①③④.‎ 故选：①③④‎ ‎【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，关键在于根据题目所给条件分析出奇函数的导函数为偶函数，结合题意进行辨析.‎ ‎15.甲、乙、丙、丁四位足球运动员中有三人分别获得金球奖、银球奖、铜球奖，另外一人未获奖．甲说：“乙获奖了．”乙说：“丙获得了金球奖．”丙说：“丁没有获奖．”如果甲、乙、丙中有一人获得了金球奖，而且只有获得金球奖的那个人说的是真话，则获得金球奖的运动员是______．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲、乙、丙中有一人获得了金球奖，而且只有获得金球奖的那个人说的是真话，分别分析甲乙丙获得金奖的情况即可得解.‎ ‎【详解】如果甲获得金球奖，根据他们说话可得：‎ 甲获得金奖，乙获奖了，丙没有获得金球奖，丁获奖了，满足题意；‎ 如果乙获得金球奖，乙说的真话，甲说的假话，但是甲说的“乙获奖了”矛盾，不合题意；‎ 如果丙获得金球奖， 丙说的真话，乙说的假话，但是乙说“丙获得了金球奖”矛盾，不合题意；‎ 所以获得金球奖的运动员是甲.‎ 故答案为：甲 ‎【点睛】此题考查逻辑推理，根据题意分类讨论分别辨析，关键在于通过推出的矛盾排除得解.‎ ‎16.函数图像上的点到直线的最小距离为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象，结合几何关系，寻找与直线平行的直线与相切，切点到直线的距离即为所求.‎ ‎【详解】‎ 根据函数图象，只需寻找与直线平行的直线与相切，切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离，‎ 由题，，令，‎ 则到直线的距离最小，‎ 最小距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求曲线上的点到直线距离的最小值，通过等价转化，只需寻找与直线平行的直线与相切，且点即为所求点，数形结合求解.‎ 三、解答题：共70分．‎ ‎17.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点为 ‎（1）设复数的共轭复数为，求的值；‎ ‎（2）已知，，求的值．‎ ‎【答案】（1）3；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据复数在复平面内对应的点为写出复数和共轭复数，即可求出；‎ ‎（2）根据题意得，求出，即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题知：，‎ 所以， ‎ 所以；‎ ‎（2）由题知：，所以，‎ 所以 ，‎ 由复数相等知：， ，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查复数概念与几何意义的辨析和基本运算，关键在于熟练掌握基本概念，根据运算法则准确进行复数运算.‎ ‎18.已知为实常数，函数在上的最大值等于1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数在定义域上连续且单调递增，，，写出一个满足以上条件的函数，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）1；（2）函数满足条件，证明详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导函数得函数的单调性求出函数的最大值即可得解；‎ ‎（2）函数满足条件，构造函数 ‎，利用导函数讨论函数的单调性求出最值即可得解.‎ ‎【详解】（1）由题知： ，‎ 因为，，所以在上单调递减； ‎ 所以当时，，所以 ‎ ‎（2）函数满足条件，证明如下：‎ 首先函数满足在定义域上连续且单调递增，且 ‎ 下面证明：，令，则 ‎ 由得 当）时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增； ‎ 所以，即，所以 ‎【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数求函数的单调区间，得出函数的最值，根据最值求参数，构造函数利用导函数证明不等式.‎ ‎19.为调查喜欢冲浪运动与性别是否相关，随机对100名大学生进行调查并制成下表：‎ 喜欢冲浪运动人数 不喜欢冲浪运动人数 总计 女生人数 男生人数 总计 ‎（1）当，，时，判断能否有的把握认为喜欢冲浪运动与性别有关？‎ ‎（2）当，时，已知的值越大则的值越小，若有的把握认为喜欢冲浪运动与性别有关，求的最大值．‎ 参考公式及数据：，．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关；（2）21.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式求出，即可判定；‎ ‎（2）的值越大则的值越小，由（1）知：当时有把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关，依次检验，是否满足即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题知，‎ 所以，‎ 所以有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关； ‎ ‎（2）由（1）知：当时有把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关 ‎ 若，则，有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关 ‎ 若，则，没有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关 由题知：的值越大则的值越小，所以当时均没有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关所以的最大值等于21‎ ‎【点睛】此题考查独立性检验问题，关键在于根据公式准确计算的值，准确辨析，此类问题容易在最后下结论出现错误.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极小值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（1）0；（2）分类讨论，详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性即可得到极小值；‎ ‎（2）求出导函数对y=进行分类讨论即可得到函数的单调性．‎ ‎【详解】解：（1）由题知，‎ 所以 ，‎ 所以和在上的变化情况如下表所示 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以当时，函数取得极小值 ，‎ ‎（2）由题知 所以 ，‎ ‎①当时，若，则；若，则 所以在上单调递增，在上单调递减 ，‎ ‎②当时，，若，则；若，则；若，则所以在）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎③当时，，所以在上单调递增， ‎ ‎④当时，，若，则；若，则；若，则，所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增 ，‎ 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【点睛】此题考查利用导函数讨论单调性解决极值问题，分类讨论解决含参数的函数的单调性，关键在于熟练掌握分类讨论思想.‎ ‎21.已知某芯片所获订单（亿件）与生产精度（纳米）线性相关，该芯片的合格率与生产精度（纳米）也线性相关，并由下表中的5组数据得到，与满足线性回归方程为：‎ ‎．‎ 精度（纳米）‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ 订单（亿件）‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎14.5‎ ‎17.5‎ 合格率 ‎0.99‎ ‎0.98‎ ‎0.95‎ ‎0.93‎ ‎（1）求变量与线性回归方程，并预测生产精度为1纳米时该芯片的订单（亿件）；‎ ‎（2）若某工厂生产该芯片的精度为3纳米时，每件产品的合格率为，且各件产品是否合格相互独立．该芯片生产后成盒包装，每盒100件，每一盒产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．现对一盒产品检验了10件，结果恰有一件不合格，已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格产品支付200元的赔偿费用．若不对该盒余下的产品检验，这一盒产品的检验费用与赔偿费用的和记为，以为决策依据，判断是否该对这盒余下的所有产品作检验？‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎（参考数据：；）‎ ‎【答案】（1），19.2亿件；（2）分类讨论，详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，，根据给定公式求解回归方程并进行预测估计；‎ ‎（2）根据回归方程求出，令表示余下的90件产品中的不合格品件数，依题意知，，，分类讨论得解.‎ ‎【详解】（1）由题知：， ，‎ 所以，‎ 所以，所以线性回归方程： ，‎ 所以估计生产精度为l纳米时该芯片的订单为（亿件）；‎ ‎（2）由题知：在回归直线上，因为，所以，‎ 所以，得 ，‎ 令表示余下的90件产品中的不合格品件数，依题意知，，‎ 因为，即 所以（元），‎ 如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元 ，‎ 当，即，得 当，即，得 当，即，得 综上：当时，检验与不检验均可；‎ 当时，应该不对剩余产品检验；‎ 当时，应对剩余产品检验．‎ ‎【点睛】此题考查求回归方程，根据已知数据结合公式求解，根据二项分布求期望值，结合已知条件进行决策分析.‎ ‎22.已知函数，， 为自然对数的底数．‎ ‎（1）若，，证明：当时，恒成立；‎ ‎（2）若，，在上存在两个极值点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导函数求出函数的单调性得函数的最值，即可得证；‎ ‎（2）求出导函数，将问题转化为讨论的零点问题.‎ ‎【详解】解：（1）由题知， ，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增， ‎ 所以，当时，，命题得证； ‎ ‎（2）由题知：，，‎ 所以与，在上正负同号， ‎ 当时，没有零点，在上没有极值点； ‎ 当时，令，则 当时，，在）上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 若，即，，在上没有极值点 ‎ 若，即；因为，所以在上有1个零点； ‎ 由（1）知：所以，‎ 所以在上也有1个零点； ‎ 所以，当时，，在上单调递增，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当时，在上有两个极值点：；‎ 所以 ‎【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决函数的最值问题，根据函数函数的极值点个数求参数的取值范围，涉及转化与化归思想.‎