专题33 线性规划求解技巧-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题33 线性规划求解技巧-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题33 线性规划求解技巧 一．【学习目标】‎ ‎1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ ‎2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．‎ 二．【知识要点】‎ ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．‎ 不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则 ‎①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．‎ ‎②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．‎ ‎③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束 条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值 ‎3.常见简单的二元线性规划实际问题 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．‎ 解线性规划问题的一般步骤：‎ 审题、设元——列出约束条件 ‎ ‎(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．‎ 三．解题方法总结 ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法 第一种：若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分 不等式 区　域 y＞kx＋b 表示直线上方的半平面区域 y＜kx＋b 表示直线下方的半平面区域 第二种：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B＝0读者完成)‎ 不等式 B＞0‎ B＜0‎ Ax＋By＋C＞0‎ 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域 Ax＋By＋C＜0‎ 表示直线下方的半平面区域 表示直线上方的半平面区域 联系：将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝kx＋b的形式即是第一种.‎ 第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.‎ ‎2.线性规划问题求解策略 ‎(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：‎ ‎①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；‎ ‎②移：由z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所求z的最值可以看成是求直线y＝－x＋在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使最大(或最小)时所经过的点；‎ ‎③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；‎ ‎④答：写出最后结论.‎ ‎(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.‎ ‎(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.‎ 四．典例分析 例1．设满足约束条件，则的最大值是　　‎ A．0 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎ 由得， 平移直线，由图象可知当直线，经过点时， 直线的截距最大，此时最大． 由，解得， 即，此时，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ 练习1．已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )‎ A．（－∞，） B．（4，＋∞） C．（，4） D．（，4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：‎ 若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．‎ 即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，‎ 故选：B．‎ 练习2．若满足 则的最小值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎（二）含绝对值的不等式 例2. 设满足约束条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．‎ 由图形得，当时，，且当直线经过点时有最大值2，故可得的最大值为2． ‎ ‎【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元．‎ 答：公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元。‎ ‎【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。‎ 练习1．电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.‎ ‎（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；‎ ‎（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？‎ ‎【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套 ‎【解析】（1）由题意可得：；‎ ‎（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；‎ 画出可行域 易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.‎ 每周应安排甲、乙连续剧2套、4套 练习2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？‎ 成分 种类 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)‎ A(mg/片)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0.1‎ B(mg/片)‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎【答案】当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．‎ ‎【解析】设两种药品分别为片和片，‎ 则有，两类药片的总数为，两类药片的价格和为。‎ 如图所示，作直线，‎ 将直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上一点，且与原点最近．‎ 解方程组，得交点坐标为.‎ 由于不是整点，因此不是的最优解，‎ 结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是，‎ 经过的整点是，因此的最小值为.药片最小总数为片．‎ 同理可得，当时，取最小值，‎ 因此当类药品片、类药品片时，药品价格最低。‎ 练习3．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.‎ ‎【答案】10 900 ‎ ‎【解析】由题意可得，解得.‎ 故答案为10 900‎