数学文卷·2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试试题（3月）（解析版）

数学文卷·2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试试题（3月）（解析版）

洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷(文)‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．‎ ‎1. 设复数满足（为虚数单位），则复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，复数，所以，故选A.‎ 考点：复数的概念及复数的运算.‎ ‎2. 已知集合，，且，则实数不同取值个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B．‎ 考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程．‎ ‎3. 已知，均为非零向量，，，则，的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，因为 ‎ 所以，‎ ‎ 即，‎ 所以向量和的夹角为,‎ 又，所以，故选A.‎ 考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.‎ ‎4. 已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，‎ 因为构成等比数列，所以，‎ 解得，‎ 所以 ，故选D.‎ 考点：等差数列的通项公式.‎ ‎5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角恒等变换的公式，‎ 可得，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因为函数为单调递增函数，所以，‎ 所以，故选D.‎ 考点：三角函数的化简求值；比较大小.‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，…．该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成数列称为“斐波那契数列”，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，根据斐波那契数列可知， ，‎ 所以根据计算的规律可得，当为偶数时， ，‎ 当为奇数时， ，‎ 所以，故选B.‎ 考点：归纳推理.‎ ‎8. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎9. 已知直线与圆交于不同的两点，．是坐标原点．且有，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选C．‎ 考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．‎ ‎10. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形．其中正确的结论是（ ）‎ A. (1)(3) B. (2)(4) C. (2)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，为了怎样转动，其水面总是正方体的中心，‎ 于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是长方形或矩形，所以（2）是正确的；‎ 过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以（4）是正确；‎ 同时过正方体的中心的平面截正方体的表面得到的截面不可能是三角形和五边形，故选B.‎ 考点：空间几何体的结构特征.‎ ‎11. 已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，‎ 如图过分别作于，于，连接，‎ 由，则，点为的中点，‎ 因为点是的中点，则，‎ 所以，所以点的横坐标为1，所以点的坐标为，‎ 同理可得点 ，所以点到抛物线准线的距离为 ，故选A.‎ 点睛：本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的定义的应用，着重考查了抛物线的定义的应用，抛物线上的点到焦点的距离等于抛物线上的点到准线的距离，考查了转化与化归的思想方法，把抛物线上的到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离是抛物线问题中常考查的一种形式，平时应注意总结.‎ ‎12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①当时，；②函数有个零点；③的解集为；④，，都有 ‎．其中正确命题的个数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，当，则，因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，所以①是正确的；‎ 令，可解得，当时，可解得，又函数是定义在上的奇函数，所以有，故函数的零点有2个，所以②是正确的；‎ 因为当时，由，解得，‎ 当时，由，解得，故的解集为，所以③是不正确的；‎ 因为当时，由，图象过点，又，‎ 可知当时，，当时，，所以函数处取得极大值，且当时，函数值趋向于，当时，函数值趋向于， ‎ 由奇函数的图象关于原点对称可作函数的图象，‎ 可得函数 ，所以成立，‎ 综上所述正确的个数为3个，故选B.‎ 考点：函数性质的综合应用.‎ 点睛：本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，函数单调性的应用，函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出函数的图象是解答问题的关键.‎ 第Ⅰ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．‎ ‎13. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，所以.‎ 考点：双曲线的几何性质；‎ ‎14. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，因为是与的等比中项，所以，‎ 又因为，所以，‎ 当且仅当是等号是成立的，所以的最小值为.‎ ‎15. 已知，，函数存在零点．若：“且”为真命题，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，因为 ，即 ‎ 当时，取得最小值，此时 取得最大值，最大值为，所以；‎ 设，则，要是的在存在零点，‎ 则，解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查了含有量词命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中分离参数求解不等式恒成立问题和熟记二次函数的图象与性质是解答的关键.‎ ‎16. 已知，，，，动点满足且，则点到点的距离大于的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，因为 ，‎ 所以动点满足且，‎ 所以 ，则点到点的距离为 ，‎ 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，‎ 因为点到点的距离大于，所以，则对应的部分为阴影部分，‎ 由 ，‎ 即点，则,所以正方形的面积为，‎ 则阴影部分的面积为 ，‎ 所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为.‎ 点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.‎ 三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. 已知 的最小正周期为．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)在中，角，，所对的边分别是为，，，若，求角的大小以及的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2) ,.‎ ‎【解析】 试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得，根据周期，得，即，即可求解的值；‎ ‎（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简，可得，可得，进而求得，即可求解的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵ ‎ ‎ ，由函数的最小正周期为，即，得，∴，∴ ．‎ ‎（2）∵，∴由正弦定理可得 ，∴ ．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．‎ ‎18. 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：‎ 其中一个数字被污损．‎ ‎(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．‎ ‎(2)随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位：小时)与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）‎ 年龄x（岁）‎ 周均学习成语知识时间y（小时）‎ 由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间．‎ 参考公式：，．‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值共种等可能结果，根据题设条件可得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值共个，即可利用古典概型的概率公式求解概率.‎ ‎ （2）根据最小二乘法的公式，求解，得出回归直线方程，即可预测结果.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设被污损的数字为，则的所有可能取值为：，，，，，，，，，共种等可能结果，令 ，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有，，，，，，，共个，所以其概率为．‎ ‎(2)由表中数据得，，，，∴，．线性回归方程为．可预测年龄为观众周均学习成语知识时间为小时．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中中，底面是菱形，且，，为的中点，平面平面．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若，，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点， 连接 ，得出，进而证得 得出平面 平面，进而得出 平面，从而证得 平 面，即可得出；‎ ‎ （2）利用等体积法 和棱锥的体积公式，即可求解点到的距离.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：取中点，连接，，．底面是菱形，∴．，分别是，的中点，∴，∴．∵，∴．平面平面，平面平面，∴平面，∴，，∴平面，平面，∴．‎ ‎(2)，，，∴，，，在直角和中，∴，在等边中，，∴．．设三棱锥高为，则由得：，∴，点到平面的距离为．‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点的椭圆上的点．‎ ‎(1)求椭圆的标准的方程；‎ ‎(2)若为椭圆上异于顶点的任意一点，、分别是椭圆的上顶点和右顶点，直线交轴于，直线交轴于，证明为定值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知且，，利用椭圆的定义可求得，进而求得，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，得直线的方程求得和，进而得,即可证明为定值.‎ 试题解析：(1)由已知且，∴ ，∴，从而，故椭圆的方程为．‎ ‎(2)设，其中，且，∴，，，∴直线的方程为，令得，直线的方程，令得，则，，∴ ,‎ 即恒等于．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出，根据直线和椭圆的方程，化简得到是解答的关键.‎ ‎21. 已知函数，．‎ ‎(1)若，，求的单凋区间；‎ ‎(2)若函数是函数的图象的切线，求的最小值．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，可得，得出，利用 ‎，即可求解函数的单调区间；‎ ‎ （2）设起点坐标为，得出 ，设，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)时， ，，，解得，解得，∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．‎ ‎(2)设切点坐标为设切点坐标为，，切线斜率，又，∴，∴,令， ，解得，解得，∴在上递减，在上递增．∴，∴的最小值为．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数求解函数在某点处的切线，利用导数求解函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据题意设出切点，得出，进而设出函数，利用导数研究函数的性质是解答的关键.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑 ‎22. 选修：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．‎ ‎【答案】(1) :;:;(2) , .‎ ‎【解析】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为．‎ ‎(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离 .‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为．‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎(1)求的最大值；‎ ‎(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．‎ ‎【答案】(1);(2);，，.‎ ‎【解析】(1)因为 .‎ 当或时取等号，‎ 令所以或．‎ 解得或 ‎∴的最大值为．‎ ‎(2)∵．‎ 由柯西不等式， ,‎ ‎∴，等号当且仅当，且时成立．‎ 即当且仅当，，时，2的最小值为． ‎