2017-2018学年青海省西宁四中高二上学期第一次月考数学试题（解析版)

2017-2018学年青海省西宁四中高二上学期第一次月考数学试题（解析版)

‎2017-2018学年青海省西宁四中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（　　）‎ A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 ‎2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎3．（5分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交 ‎4．（5分）如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（　　）‎ A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 ‎5．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．（5分）已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（　　）‎ A．2cm B． C．4cm D．8cm ‎7．（5分）空间中四点可确定的平面有（　　）‎ A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 ‎8．（5分）下列命题错误的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ‎9．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（　　）‎ A．+ B．1+ C．1+ D．2+‎ ‎10．（5分）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（　　）‎ A． B． C． D．π ‎11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C1的最短行程为（　　）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图，四面体A﹣BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A．π B．3π C．π D．2π ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为　 　．‎ ‎14．（5分）利用斜二侧画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的是 　 　．‎ ‎15．（5分）四面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于　 　．‎ ‎16．（5分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）； （4），‎ 其中假命题有　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，棱锥高为m，制造这个塔顶需要多少铁板？‎ ‎18．（12分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．‎ ‎（1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；‎ ‎（2）求该几何体的表面积与体积．‎ ‎19．（12分）如图，在等腰△ABC中，，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知点S是△ABC所在平面外的一点，G是AB上任一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，如图，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．‎ ‎21．（12分）如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，‎ ‎（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．‎ ‎22．（12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．‎ ‎（Ⅰ） 当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ） 设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年青海省西宁四中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（　　）‎ A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 ‎【分析】利用圆锥的定义，此直角三角形由斜边上的高线分成两个小的直角三角形，以大直角三角形的斜边为轴旋转360°，相当于以小直角三角形的直角边为轴旋转．‎ ‎【解答】解：做出斜边上的高，得到两个小的直角三角形，一个直角三角形绕斜边旋转360° ，相当于以两个小直角三角形的直角边 为轴旋转，故以一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是两个同底的圆锥，‎ 底面是以直角三角形的斜边上的高为半径的圆面，这两个圆锥的高都在直角三角形的斜边上，‎ 且这两个圆锥的高的和等于直角三角形的斜边长．‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题考查圆锥的定义，关键是构造两个小的直角三角形，体现了转化的思想．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，‎ 从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，‎ 则该几何体可以是圆台．‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交 ‎【分析】由题意平面α内有无数条直线都与平面β平行，利用空间两平面的位置关系的定义即可判断．‎ ‎【解答】解：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，‎ 当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．‎ 故为D ‎【点评】此题重点考查了两平面空间的位置及学生的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（　　）‎ A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 ‎【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．‎ ‎【解答】解：根据几何体的直观图，得 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，‎ 且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；‎ 顶点是M、A、B、C、D和N共6个；‎ 且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．‎ 所以选项A、B、C正确，选项D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，‎ 右图为该三棱锥的直观图，‎ 并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．‎ 则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，‎ 所以这个几何体的体积，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积，由于本题中几何体出现了同一点出发的三条棱两两垂直，故体积易求．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（　　）‎ A．2cm B． C．4cm D．8cm ‎【分析】由铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，我们易求出铜块的体积，我们设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，我们易根据熔化前后体积相等，易构造一个关于a的方程，解方程即可示出所铸成的铜块的棱长．‎ ‎【解答】解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，‎ ‎∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，‎ 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，‎ 则a3=64‎ 解得a=4cm 故选C ‎【点评】本题考查的知识点组合几何体的面积与体积问题，熔化前后体积相等，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）空间中四点可确定的平面有（　　）‎ A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 ‎【分析】由已知条件分四点共线和四点不共线两种情况分类讨论，能求出空间中四点可确定的平面个数．‎ ‎【解答】解：空间中四点可确定的平面的个数有：‎ 当四个点共线时，确定无数个平面；‎ 当四个点不共线时，最多确定=4个平面，最少确定1个平面，‎ ‎∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查平面个数的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）下列命题错误的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ‎【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．‎ ‎【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；‎ B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；‎ C、如图，‎ 设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，‎ 所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，‎ 所以l⊥γ．所以正确．‎ D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假的判断与应用，着重考查了空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象和思维能力，解答此题时，除了具备一定的空间想象能力外，还应熟记线面平行、线面垂直的判定，此题是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（　　）‎ A．+ B．1+ C．1+ D．2+‎ ‎【分析】根据斜二测画法还原出原平面图形，求出它的面积即可．‎ ‎【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示；‎ ‎∴这个平面图形是直角梯形，‎ 它的面积为 S=×（1+1+）×2‎ ‎=2+．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了斜二测画法画直观图的应用问题，解题的关键是还原出原平面图形，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【分析】球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，设出正方体的棱长，求出球的半径，求出两个表面积即可确定比值．‎ ‎【解答】解：设：正方体边长设为：a 则：球的半径为 所以球的表面积S1=4•π•R2=4πa2=3πa2‎ 而正方体表面积为：S2=6a2‎ 所以比值为：‎ 故选C ‎【点评】本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的内接体的知识，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C1的最短行程为（　　）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎【分析】从A点沿不同的表面到C1，其距离可采用将长方体展开的方式求得．‎ ‎【解答】解：从A点沿不同的表面到C1，‎ 其距离可采用将长方体展开的方式求得，‎ 分别是=，=4，=3‎ ‎∴从A点沿表面到C1的最短距离为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查从A点沿表面到C1的最短距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，四面体A﹣BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A．π B．3π C．π D．2π ‎【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．‎ ‎【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，‎ 所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：‎ 所以球的体积为：×=π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为　20　．‎ ‎【分析】推导出该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，由此能求出其侧棱长．‎ ‎【解答】解：∵一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，‎ ‎∴该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，‎ 故其侧棱长为20．‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题考查棱柱的侧棱长的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）利用斜二侧画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的是 　①②　．‎ ‎【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断①②③④的正确性，即可推出结论．‎ ‎【解答】解：由斜二侧直观图的画法法则可知：①三角形的直观图还是三角形；正确；②平行四边形的直观图还是平行四边形；正确．‎ ‎③正方形的直观图还是正方形；应该是平行四边形；所以不正确；④菱形的直观图还是菱形．也是平行四边形，所以不正确．‎ 故答案为：①②‎ ‎【点评】本题考查斜二侧画直观图的画法，注意平行x，y轴的线段，仍然平行坐标轴，不平行坐标轴的线段，只管相等的始点和终点；是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）四面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于　　．‎ ‎【分析】取AC中点O，连结EO，FO，BE，由题意得∠OEF是异面直线EF与SA所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与SA所成的角．‎ ‎【解答】解：如图，取AC中点O，‎ 连结EO，FO，BE，‎ 则题意知EO∥SA，FO∥BC，‎ ‎∴∠OEF是异面直线EF与SA所成的角（或所成角的补角），‎ ‎∵EO=FO=，BE==，‎ EF===，‎ ‎∴==，‎ ‎∴∠OEF=．‎ ‎∴异面直线EF与SA所成的角等于．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）； （4），‎ 其中假命题有　（2）（4）　．‎ ‎【分析】由面面平行的判定理知（1）是真命题；在（2）中，有可能存在m⊂β或m与平面β相交；由面面垂直的判定定理知（3）是真命题；在（4）中，有可能m⊂α．‎ ‎【解答】解：由m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，知：‎ 在（1）中，由面面平行的判定理得，故（1）是真命题；‎ 在（2）中，或m⊂β或m与平面β相交，故（2）是假命题；‎ 在（3）中，由面面垂直的判定定理得，故（3）是真命题；‎ 在（4）中，或m⊂α，故（4）是假命题．‎ 故答案为：（2）（4）．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，棱锥高为m，制造这个塔顶需要多少铁板？‎ ‎【分析】连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP，求出SP=2 m，由此能求出制造这个塔顶需要多少铁板．‎ ‎【解答】 解：如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．‎ 作SP⊥AB，连接OP．‎ 在Rt△SOP中，SO=m，OP=BC=1m，‎ 所以SP=2 m，‎ 则△SAB的面积是×2×2=2m2．‎ 所以四棱锥的侧面积是4×2=8 m2，‎ 即制造这个塔顶需要8m2铁板．‎ ‎【点评】本题考查四棱锥的侧面积的求法及应用，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．‎ ‎（1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；‎ ‎（2）求该几何体的表面积与体积．‎ ‎【分析】（1）由几何体的三视图知：该几何体是一个侧棱长为2，底面直径为2的圆锥和高为1直径为2的长方体的组合体；‎ ‎（2）利用条件数据能求出此几何体的表面积和体积．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2，母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体．（2分）‎ ‎（2）此几何体的表面积：S=2π+2×4﹣π+4×2=π+16（6分）‎ 此几何体的体积：V==π+4（10分）‎ ‎【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在等腰△ABC中，，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ ‎【分析】由已知可建立如图所示的空间直角坐标系．利用与的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 在等腰Rt△ABC中，∵BC=，∴AB=AC=1．‎ 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），E（0，0，）．‎ ‎∴=，=（0，﹣1，1）．‎ ‎∴===．‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知点S是△ABC所在平面外的一点，G是AB上任一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，如图，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．‎ ‎【分析】由D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，得到DF∥SA，EF∥SB，从而平面DEF∥平面SAB，由此能推导出SG∥平面DEF．‎ ‎【解答】解：SG与平面DEF平行．‎ 证明如下：‎ ‎∵D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，‎ ‎∴DF∥SA，EF∥SB，‎ ‎∵DF∩EF=F，SA∩SB=S，‎ DE、DF⊂平面DEF，SA、SB⊂平面SAB，‎ ‎∴平面DEF∥平面SAB，‎ ‎∵G是AB上任一点，∴SG⊂平面SAB，‎ ‎∴SG∥平面DEF．‎ ‎【点评】本题考查线面关系的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，‎ ‎（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．‎ ‎【分析】（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，由中位线定理得MD∥AP，由线面平行的判定证得MD∥平面APC；‎ ‎（Ⅱ）先证得AP⊥BC，又有AC⊥BC，通过线面垂直的判定证出BC⊥平面APC，再由面面垂直的判定证出平面ABC⊥平面PAC．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，‎ ‎∴MD∥AP，‎ 又MD⊄平面APC，‎ ‎∴MD∥平面APC．‎ ‎（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，‎ ‎∴MD⊥PB．‎ 又由（Ⅰ）知MD∥AP，‎ ‎∴AP⊥PB．‎ 又已知AP⊥PC，PB∩PC=P ‎∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，‎ ‎∴AP⊥BC，‎ 又AC⊥BC，而AP∩AC=A，‎ ‎∴BC⊥平面APC，‎ 又BC包含于平面ABC ‎∴平面ABC⊥平面PAC．‎ ‎【点评】本题主要是通过线线、线面、面面之间的关系的转化来考查线线、线面、面面的判定定理．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．‎ ‎（Ⅰ） 当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ） 设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据CP∥平面ABEF的性质，建立条件关系即可得到结论．‎ ‎（Ⅱ）设BE=x，根据三棱锥的体积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=：‎ 证明：当λ=，此时，‎ 过P作MP∥FD，与AF交M，则=‎ 又PD=5，故MP=3，‎ ‎∵EC=3，MP∥FD∥EC，‎ ‎∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，‎ ‎∴PC∥ME，‎ ‎∵CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，‎ 故答案为：CP∥平面ABEF成立．‎ ‎（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，‎ ‎∴AF⊥平面EFDC，‎ ‎∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6﹣x，‎ 故三棱锥A﹣CDF的体积V==﹣，‎ ‎∴x=3时，三棱锥A﹣CDF的体积V有最大值，最大值为3．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面平行的性质和判定，以及三棱锥体积的计算，考查学生的推理能力．‎ ‎　‎