2015年高考真题——理科数学（上海卷）原卷版

2015年高考真题——理科数学（上海卷）原卷版

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 1、设全集 UR ．若集合  1,2,3,4 ，  23xx    ，则 U  ð ． 2、若复数 z 满足31z z i   ，其中i 为虚数单位，则 z  ． 3、若线性方程组的增广矩阵为 1 2 23 01 c c   、解为 3 5 x y    ，则 12cc ． 4、若正三棱柱的所有棱长均为 a ，且其体积为16 3 ，则 a  ． 5、抛物线 2 2y px （ 0p  ）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则 p  ． 6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7、方程    11 22log 9 5 log 3 2 2xx    的解为 ． 8、在报名的3 名男教师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选 取方式的种数为 （结果用数值表示）．[来源:Zxxk.Com] 9、已知点 和Q 的横坐标相同， 的纵坐标是Q 的纵坐标的 2 倍， 和 Q 的轨迹分别为双曲线 1C 和 2C ．若 1C 的渐近线方程为 3yx ，则 2C 的渐近线方程为 ． 10、设  1fx 为   22 2 x xfx ，  0,2x 的反函数，则    1y f x f x 的最大值为 ． 11、在 10 2015 11 x x  的展开式中， 2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2 ，3 ，4 ，5 的卡片中随机摸取一张， 将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随 后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字 之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金 和奖金，则 12   （元）． 13、已知函数   sinf x x ．若存在 1x ， 2x ，， mx 满足 1206mx x x       ，且            1 2 2 3 1 12nnf x f x f x f x f x f x      （ 2m  ，m  ），则 m 的最小值 为 ． 14、在锐角三 角形 C 中， 1tan 2 ， D 为边 C 上的点， D 与 CD 的面积分别为 2 和 4 ．过 D 作 D   于 ， DF C 于 F ，则 D DF  ． 二、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 15、设 1z ， 2 Cz  ，则“ 1z 、 2z 中至少有一个数是虚数”是“ 12zz 是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16、已知点  的坐标为 4 3,1 ，将  绕坐标原点 逆时针旋转 3  至 ，则点  的纵坐标为（ ） A． 33 2 B． 53 2 C．11 2 D．13 2 17、记方程①： 2 1 10x a x   ，方程②： 2 2 20x a x   ，方程③： 2 3 40x a x   ，其中 1a ， 2a ， 3a 是正实数．当 1a ， 2a ， 3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）[来源:学科网 ZXXK] A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 18、设  ,n n nxy 是直线 2 1 nxyn （ n  ）与圆 222xy在第一象限的交点，则极限 1lim 1 n n n y x   （ ） A． 1 B． 1 2 C．1 D．2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分 12 分）如图，在长方体 1 1 1 1CD C D    中， 1 1  ， D2    ， 、F 分 别是  、 C 的中点．证明 1 、 1C 、 F 、  四点共面，并求直线 1CD 与平面 11CF所成的角的 大小. 20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分 如图，  ，  ， C 三地有直道相通， 5  千米， C3千米， C4千米.现甲、乙两警员同 时从  地出发匀速前往 地，经过t 小时，他们之间的距离为  ft（单位：千米）.甲的路线是  ， 速度为5 千米/小时，乙的路线是 C，速度为8 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 1tt 时乙到 达 C 地. （1）求 1t 与  1ft 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米.当 1 1tt时，求  ft的表达式，并判断  ft在  1,1t 上得最大值是否超过3 ？说明理由. 21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分. 已知椭圆 2221xy，过原点的两条直线 1l 和 2l 分别于椭圆交于  、 和 C 、D ，记得到的平行四 边形 CD 的面积为 S . （1）设  11,xy ，  22C,xy ，用  、C 的坐标表示点 C 到直线 1l 的距离，并证明 1 1 2 12S x y x y； （2）设 1l 与 2l 的斜率之积为 1 2 ，求面积 S 的值. 22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 已知数列 na 与 nb 满足  112n n n na a b b   ， n  . （1）若 35nbn，且 1 1a  ，求数列 na 的通项公式；[来源:学.科.网] （2）设 的第 0n 项是最大项，即 0nnaa （ n  ），求证：数列 nb 的第 项是最大项； （3）设 1 0a ， n nb  （ n  ），求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值 m ，且  2,2m   .[来源:Z。xx。k.Com] 23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 对于定义域为 R 的函数  gx，若存在正常数 ，使得  cos gx是以 为周期的函数，则称 为 余弦周期函数，且称 为其余弦周期.已知  fx是以 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 .设 单调递增，  00f  ，   4f  . （1）验证   sin 3 xh x x 是以 6 为周期的余弦周期函数； （2）设 ba  ．证明对任意    ,c f a f b，存在  0 ,x a b ，使得  0f x c ； （3）证明：“ 0u 为方程  cos 1fx 在 0, 上得解”的充要条件是“ 0u 为方程  cos 1fx 在  ,2上有解”，并证明对任意  0,x都有      f x f x f     .