高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-3 直线与圆的方程的应用

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-3 直线与圆的方程的应用

一、选择题 ‎1．一辆卡车宽‎1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为‎3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)‎ A．‎1.4m B．‎‎3.5m C．‎3.6m D．‎‎2.0m ‎[答案]　B ‎[解析]　圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，‎ ‎∴弦心距OB＝≈3.5.‎ ‎2．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　x2＋y2－4x＋3＝0化为标准形式为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，‎ ‎∵(2,0)关于直线x－y－1＝0对称的点为(1,1)，‎ ‎∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为(1,1)．‎ ‎∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即为(x－)2＋(y－1)2＝，圆心为(，1)，‎ ‎∴＝1，即a＝2.‎ ‎3．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵圆心到直线的距离d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2..‎ ‎4．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(　　)‎ A．24 B．16‎ C．8 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．‎ ‎5．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　　)‎ A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 ‎[答案]　B ‎[解析]　由<1，∴a2＋b2>1.‎ ‎6．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．10 B．20 C．30 D．40 ‎[答案]　B ‎[解析]　圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×10×4＝20.‎ ‎7．方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是(　　)‎ A．k＝± B．k∈(－2,2)‎ C．k<－2或k>2‎ D．k<－2或k>2或k＝±3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得k<－2或k>2或k＝±.‎ ‎8．(拔高题)台风中心从A地以每小时‎20 km的速度向东北方向移动，离台风中心‎30 km内的地区为危险地区，城市B在A的正东‎40 km外，B城市处于危险区内的时间为(　　)‎ A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h ‎[答案]　B ‎[解析]　建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为＝1(h)．‎ 二、填空题 ‎9．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.则x－y的最大值和最小值分别是________和________．‎ 的最大值和最小值分别是________和________．‎ x2＋y2的最大值和最小值分别是______和______．‎ ‎[答案]　2＋，2－；1，－1；7＋4，7－4 ‎[解析]　(1)设x－y＝b则y＝x－b与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，‎ 即≤，∴2－≤b≤2＋ 故x－y最大值为2＋，最小值为2－ ‎(2)设＝k，则y＝kx与x2＋y2－4x＋1＝0‎ 有公共点，即≤ ‎∴≤k≤，故最大值为，最小值为－ ‎(3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r＝ 故(2－)2≤x2＋y2≤(2＋)2‎ 由此x2＋y2最大值为7＋4，最小值为7－4.‎ ‎10．如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面‎2 m，水面宽‎12 m，当水面下降‎1 m后，水面宽为________m.‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．‎ 设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.　①‎ 将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.‎ ‎∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.　②‎ 当水面下降‎1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降‎1 m后，水面宽为2x0＝2.‎ ‎11．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝＝，又R＝3，∴|EF|＝2＝4.‎ ‎∴S△CEF＝|EF|·d＝2.‎ ‎12．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则|PM|的最小值________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝＝，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离，即|CP|的最小值为d＝＝4，则|PM|的最小值为＝4.‎ 三、解答题 ‎13．如图所示，已知直线l的解析式是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，求该圆运动的时间．‎ ‎[解析]　设运动的时间为t s，则t s后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t)．‎ ‎∵圆C与直线l：y＝x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴＝1.5.‎ 解得t＝6或16.‎ 即该圆运动的时间为6 s或16 s.‎ ‎14．设有一个半径为‎3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？‎ ‎[解析]　如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立直角坐标系．设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇．设D，C两点的坐标分别为(a,0)，(0，b)，其中a＞3，b＞3，则CD方程为＋＝1.设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，得解得∴乙向北走‎3.75 km时两人相遇．‎ ‎15．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是‎36 m，拱高OP是‎6 m，在建造时，每隔‎3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2‎ 的长．(精确到‎0.01 m)‎ ‎[分析]　建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长 ‎[解析]　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．‎ 设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.‎ 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.‎ 将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得 y＝－24＋12.‎ 答：支柱A2P2的长约为12－24.‎ ‎[点评]　在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．‎ ‎16．如图，直角△ABC的斜边长为定值‎2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．‎ ‎[证明]　如上图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．‎ 设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．‎ ‎|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2‎ ‎＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2‎ ‎＝2x2＋2y2＋6n2＝‎2m2‎＋6n2(定值)．‎