2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 ‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知复数（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据两个复数代数形式的乘法运算法则，化简复数z，之后利用复数的模的运算公式求得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数的模的求解问题，属于简单题目.‎ ‎2．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，可得，利用向量共线定理即可得到所满足的等量关系式，从而得出结果.‎ 详解：因为，所以，，所以存在实数，使得，‎ 所以，解得，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关共线向量的坐标所满足的关系的问题，即向量公线定理，在这之前，首先需要利用两个平面平行的条件得到平面的发向量是共线的，从而求得结果.‎ ‎3．由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，用的是（ ）‎ A. 三段论推理 B. 类比推理 C. 归纳推理 D. 传递性关系推理 ‎【答案】B ‎【解析】分析：类比推理注意二维到三维过程中的变化，平面变立体，长度变面积，面积变体积.‎ 详解：由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，是用平面中圆的性质类比到空间球的性质，所以是类比推理，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关几个推理的概念，会判断所给定的推理属于哪一种推理，这就要求我们在平时学习中一定要把握好有关概念性的东西.‎ ‎4．若向量，，，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用，结合，将有关量代入求得z的值，得到结果.‎ 详解：根据题意得，‎ 化简得，解得，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.‎ ‎5．用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时要做的假设是（ ）‎ A. 函数恰有两个零点 B. 函数至多有一个零点 C. 函数至多有两个零点 D. 函数没有零点 ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可.‎ 详解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时，要做的假设是函数没有零点，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关反证法的证明过程，再者就是要明确反证法的理论依据是原命题和逆否命题等价，从而得到反设的就是结论的反面成立，从而求得结果.‎ ‎6．用数学归纳法证明（）时，第一步应验证不等式（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题设可知该题运用数学归纳法时是从开始的,因此第一步应验证不等式中,故应选B.‎ 考点：数学归纳法及运用．‎ ‎【易错点晴】数学归纳法是证明和解决与正整数有关的数学问题是重要而有效的工具之一.运用数学归纳法的三个步骤中第一步是验证初值,这一步一定要依据题设中的问题实际,结合实际意义,并不一定都是验证,这要根据题设条件,有时候还要验证两个数值.所以运用数学归纳法时要依据题意灵活运用,不可死板教条的照搬,本题就是一个较为典型的实际例子.‎ ‎7．定积分（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：找出被积函数的原函数，计算定积分.‎ 详解：，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关定积分的计算问题，在解题的过程中，一是需要对公式正确使用，二是要明确积分区间.‎ ‎8．已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用已知条件判断导函数与原函数的关系，利用导函数的单调性以及函数的极值，判断选项即可.‎ 详解：函数的导函数只有一个极值点，结合选项可知，‎ 导函数是二次函数，原函数是三次函数；‎ 导函数为0的位置，原函数取得极值，只有选项A满足条件，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关图像的选择问题，在解题的过程中，需要明确导数的符号决定着函数的单调性，从而得到导数等于零的点就是函数的极值点，逐一对照，得到结果.‎ ‎9．甲、乙、丙、丁四位同学一起向数学老师询问数学竞赛的成绩．老师说：他们四人中有2位获得一等奖，有2位获得二等奖，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙、丁可以知道对方的成绩 B. 乙、丁可以知道自己的成绩 C. 乙可以知道四人的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据四人所知只有自己看到的，老师速派送的以及最后甲说的话，继而可以推出正确答案.‎ 详解：四人所知有自己看到的、老师所说的及最后甲说的，‎ 甲不知道自己的成绩，可知乙丙必有一优一良（若为两优或两良，甲会知道自己的成绩）；‎ 乙看到了丙的成绩，就知道了自己的成绩，‎ 丁看到了甲的成绩，并且甲和丁也是一优一良，丁就可以确定自己的成绩，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关推理的问题，在解题的过程中，需要认真读题，分析每一个人根据题中所给的条件，能够收到的信息有哪些，从而可以断定自己本身能够掌握的信息，从而求得结果.‎ ‎10．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意对函数求导，得到，之后将函数在相应区间上的单调性化为导数在相应区间上的正负问题，从而求得结果.‎ 详解： 因为，所以，‎ 因为函数在上是增函数，‎ 所以有在上恒成立，‎ 从而得到在上恒成立，‎ 令，则在上恒成立，‎ 所以在上增函数，所以，所以有，‎ 所以的范围是，故选A.‎ 点睛：该题考查的是应用导数研究恒成立问题，在解题的过程中，需要结合题中的条件，利用函数在给定区间上的单调性，将问题转化为其导数大于零恒成立，通过构造新函数，利用导数向最值靠拢，从而求得结果.‎ ‎11．函数的极大值点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先对函数求导，将导数的式子进行化简，求得导数等于零的点，从而研究函数在相应区间上的符号，从而确定函数在对应区间上的单调性，从而求得极大值点.‎ 详解：‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 解得，‎ 并且可以判断得出当时，，‎ 当或时，，‎ 所以函数在上单调减，在上单调增，在上单调减，‎ 所以函数的极大值点为，故选D.‎ 点睛：该题属于导数常规题型，主要考查了利用导数求极值点问题，要求函数的导函数，结合导函数的函数值的符号确定出函数的单调区间，从而求得极大值点.‎ ‎12．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：‎ 首先将题中所给的式子进行整理，之后构造新函数，对函数求导，利用条件可以判断新构造函数的导数的符号，从而可以确定所构造的新函数的单调性，再利用题中所给的已知自变量对应的函数值，从而可以应用单调性求得结果，注意函数的定义域以及复合函数的定义域.‎ 详解：，所以，‎ 设，，‎ 可知是上的增函数，，‎ 当时，，又，所以，‎ 所以不等式的解集为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是函数的综合题，在解题的过程中，需要我们构造新函数，求导，利用题中的条件来判断导数的符号，从而确定出新函数的单调性，结合题中所给的，可以判断出自变量所满足的条件，这里需要注意复合函数的定义域问题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．当且时，复数在复平面上对应的点位于第__________象限．‎ ‎【答案】四 ‎【解析】分析：复数在复平面上对应的点的坐标为，由已知，可得最后的结果.‎ 详解：因为，所以，‎ 因为复数在复平面上对应的点的坐标为，‎ 所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，故答案为：四.‎ 点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应点的问题，只要明确实部和虚部的符号即可判断得出结果.‎ ‎14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，解得或，∴曲线及直线的交点为和因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是，故答案为.‎ 点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎15．如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将图画出，取相应边的中点，利用三角形的中位线得到相应的平行关系，利用异面直线所成角的定义，确定其平面角，之后利用余弦定理求得其余弦值.‎ 详解：，，，‎ 可以求得，‎ 取AB中点F，OC中点G,连结，‎ 则是和以及的中位线，‎ 以，即就是直线与所成的角，‎ 且有,，‎ 根据题意可得，从而求得，‎ 根据余弦定理可得，‎ 即答案是.‎ 点睛：该题以几何体为载体，考查有关异面直线所成角的概念以及余弦值的问题，在求解的过程中，借助于三角形的中位线得到平行关系，确定其所成角的平面角，之后应用解三角形来完成，该题是用的余弦定理求解的，还可以借助于直线三角形中余弦值等于临边比斜边得到结果.‎ ‎16．函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函数的最值，得到关于的不等式，从而求出的范围.‎ 详解：，依题意，‎ 时，成立，‎ 已知，则，‎ 所以在上单调递减，而在上单调递增，‎ 所以，，‎ 所以有，得，故的取值范围是.‎ 点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，在解题的过程中，需要根据题意向最值靠拢，结合导数研究函数的单调性，从而求得函数相应的最值，求得结果.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数在点处的切线与轴平行．‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）求函数的单调区间及极值．‎ ‎【答案】（1）（2），．‎ ‎【解析】分析：(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，利用切点在曲线上，以及利用点斜式写出切线的方程，可得所满足的方程组，解方程组即可得结果；‎ ‎(2)求得导数，由导数大于零，可得增区间，导数小于零，可得减区间，进而求得函数的极值.‎ 详解：（1），‎ 由题意可知，‎ ‎∴，‎ 代入得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ 令，或，‎ 列表得：‎ ‎∴的单调增区间为，，单调减区间为，‎ ‎，．‎ 点睛：该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数的几何意义，求得函数图像在某个点处的切线，利用点在直线上求得相应的参数，从而求得函数的解析式，再者就是通过导数研究函数的单调性，从而确定函数的极值点，代入求得函数值.‎ ‎18．已知四棱锥中，底面，，，，是中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】分析：(1)首先在相应的平面内借助于三角形的中位线，得到对应的平行线，再根据线面平行的判定定理证得线面平行的结果；‎ ‎(2)利用几何体中的垂直关系，建立相应的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量所成角的余弦值的绝对值求得对应的线面角的正弦值.‎ 详解：（1）证明：取的中点，连接、，‎ ‎∵、分别为、的中点，‎ ‎∴，且，‎ 又∵，‎ ‎∴且，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标，，，，，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ ‎，，‎ ‎∴即令，则，，，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎．‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和线面角正弦值的求解，在解题的过程中，需要注意线面平行的判定目标就是在面内找平行线，大多通过三角形的中位线，平行四边形的对边等得到，在求线面角的正弦值的时候，通过平面的法向量与直线的方向向量所成角的余弦值的绝对值得到.‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)首先对函数求导，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到相应的切线方程.‎ ‎(2)构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式.‎ 详解：（1），‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 即切线方程为．‎ ‎（2）要证，‎ 由于，只需证明，即证，‎ 设，则，‎ ‎，（且不恒为0）成立，‎ ‎∴在单调递减，且，‎ ‎∴成立，‎ 即时，成立．‎ 点睛：该题考查的是有关导数的问题，一是需要明确利用导数的几何意义求曲线在某个点处的切线方程的过程，二是证明不等式恒成立问题，需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用最值求得结果.‎ ‎20．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） 见解析（2）‎ ‎【解析】分析：(1)结合题中所给的条件，利用面面垂直的条件以及题中所给的特殊几何图形，得到相应的垂直关系，之后借助于线面垂直来得到线线垂直.‎ ‎(2)对于存在性问题，可先假设存在，即假设线段上存在点，使二面角的大小为，再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在，否则存在.‎ 详解：（1）证明：连接，‎ ‎∵，，∴△为等边三角形，‎ 又∵为中点，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵为矩形，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面 ，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知平面，‎ ‎∵、平面，‎ ‎∴，，‎ 又∵，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 设，，，，‎ 设平面的一个法向量为，，‎ 则即令，则，‎ 由图形知，平面的一个法向量，‎ 由题意知，‎ 即，即，‎ ‎∵，∴．　‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，在解题的过程中，需要注意线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系，通过对应的判定定理和相应的性质得到结果，在解决是否存在类问题时，都是先假设其存在，按照题的条件进行求解，求出结果就是存在，推出矛盾就是不存在.‎ ‎21．已知函数（）．‎ ‎（1）为的导函数，讨论的零点个数；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到的零点个数；‎ ‎(2)设，求的最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.‎ 详解：（1），，‎ ‎，，且当时，，，所以；‎ 当时，，，所以．‎ 于是在递减，在递增，故，‎ 所以①时，因为，所以无零点；‎ ‎②时，，有唯一零点；‎ ‎③时，，‎ 取，，则，，‎ 于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．‎ ‎（2）令，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；‎ ‎②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在上递减，则，不符合题意．‎ 综上，．‎ 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，在解题的过程中，需要对求导公式熟练掌握，要理解函数的零点的概念，通过函数图像的走向，借助于最值的符号得到零点的个数，需要对参数进行讨论，再者就是有关不等式恒成立问题，大多采用分离参数，构造新函数，利用最值得到结果，无论求什么，都需要时刻记着先保证函数的生存权，即定义域优先.‎ ‎22．已知复数，（为实数，为虚数单位），且是纯虚数．‎ ‎（1）求复数，；‎ ‎（2）求的共轭复数．‎ ‎【答案】（1），．（2）‎ ‎【解析】分析：(1)由已知复数，求出，再由是纯虚数，‎ 列出列出相应的等量关系式和不等关系式，求解即可得的值，进一步求出；‎ ‎(2)直接把代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ 详解：（1），‎ ‎∵为纯虚数，∴，，‎ ‎∴，．‎ ‎（2），‎ ‎∴的共轭复数为．‎ 点睛：该题考查的是有关复数的概念及运算问题，在解题的过程中，注意应用纯虚数的概念得到参数所满足的关系式，从而求得结果，二是要熟练掌握复数的除法运算法则，再者就是要注意题的条件，理解共轭复数的概念，求得结果.‎