2020高中数学 第三章空间向量的正交分解及其坐标表示

2020高中数学 第三章空间向量的正交分解及其坐标表示

‎3.1.4　‎空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．　2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点)　3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋y b＋zc．‎ 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．‎ 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？‎ ‎(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？‎ ‎[提示]　(1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．‎ ‎(2)唯一确定．‎ ‎2．空间向量的正交分解及其坐标表示 单位正交基底 有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3‎ 空间直角坐标系 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz 空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若{a，b，c}为空间一个基底，且p＝xa＋yb＋zc．若p＝0，则x＝y＝z＝0.(　　)‎ ‎(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　)‎ ‎(3)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同．(　　)‎ ‎(4)若＝(2,3,0)，则点P在平面xOy内．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)‎ A．，，　　　　 B．，， C．，， D．，， 9‎ C　[由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]‎ ‎3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________. ‎ ‎【导学号：46342147】‎ a＝(4，－8,3)　b＝(－2，－3,7)　[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 基底的判断 ‎　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)‎ A．1个　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 ‎(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．‎ ‎[解]　(1)如图所示，令a＝，b＝，c＝，‎ 则x＝，y＝，z＝，‎ a＋b＋c＝AC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．‎ ‎[答案]　C ‎(2)设＝x＋y，则 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，‎ 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3‎ ‎∴此方程组无解．‎ 即不存在实数x，y使得＝x＋y，‎ 所以，，不共面．‎ 9‎ 所以{，，}能作为空间的一个基底．‎ ‎[规律方法]　 基底判断的基本思路及方法 ‎(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．‎ ‎(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．‎ ‎②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．‎ ‎[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)C．‎ ‎∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．‎ ‎∴此方程组无解．‎ 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，‎ ‎∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．‎ 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．‎ 用基底表示向量 ‎　如图3129，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.‎ 图3129‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解]　连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋C．‎ 9‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋C．‎ ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋C．‎ ＝＝＝a.‎ ‎[规律方法]　1.本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a，b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．‎ ‎2．基向量的选择和使用方法 ‎(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．‎ ‎(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) ‎ ‎【导学号：46342148】‎ A．－，，　　 B．，－， C．－，，－ D．－，－， D　[‎ 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D．]‎ 9‎ 空间向量的坐标表示 ‎[探究问题]‎ ‎1．在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？‎ 提示：‎ 分别取BC，B‎1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎2．若＝(a，b，c)，则的坐标是多少？‎ 提示：＝(－a，－b，－c)．‎ ‎　如图3130，在直三棱柱ABCA1B‎1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A‎1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．‎ 图3130‎ ‎[思路探究]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．‎ ‎[解]　‎ 法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．‎ 9‎ ‎∴＝－＝＋－＝－＋，‎ ‎∴的坐标为(1，－1,1)，‎ 而＝－＝－＋，‎ ‎∴的坐标为(1，－1,2)．‎ 又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．‎ 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，‎ ‎∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．‎ ‎[规律方法]　 用坐标表示空间向量的步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎3.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系．‎ 图3131‎ ‎(1)写出各顶点的坐标； ‎ ‎(2)写出向量，，的坐标．‎ ‎[解]　(1)由图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，‎ ‎(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，‎ 9‎ 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．‎ 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)‎ A．，，共线　　 B．，共线 C．，共线 D．O，A，B，C四点共面 D　[由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．]‎ ‎2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)‎ A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 D　[因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．]‎ ‎3．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) ‎ ‎【导学号：46342149】‎ A．　　 B． C． D． A　[如图，由已知＝1‎ ‎＝(＋)‎ 9‎ ‎＝[＋(＋)]‎ ‎＝＋[(－)＋(－)]‎ ‎＝＋＋，‎ 从而x＝y＝z＝.]‎ ‎4．三棱锥PABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．‎ 　[‎ ＝－ ‎＝(＋)－(＋)‎ ‎＝－，‎ 故＝.]‎ ‎5．如图3132所示，已知平行六面体ABCDA1B‎1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：‎ 图3132‎ ‎(1)；(2).‎ ‎[解]　如图，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中连接AC，AD1，‎ 9‎ ‎(1)＝(＋)‎ ‎＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．‎ ‎(2)＝(＋)‎ ‎＝(＋2＋)‎ ‎＝a＋b＋c．‎ 9‎