黑龙江省大庆市大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

大庆实验中学2019-2020学年度上学期期中考试 高三数学(文科)试题 一、选择题（单选题，共60分）‎ ‎1.若，，与的夹角为,则（ ）‎ A. B. C. 1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积运算即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查数量积的基本运算,属于基础题型.‎ ‎2.已知复数满足，若虚部为-2，则（ ）．‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得再根据虚部为-2求得,进而求得 ‎【详解】由,又的虚部为-2,故 故,故 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型.‎ ‎3.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合中的范围,再求交集即可.‎ ‎【详解】由有,即,又中即.‎ 故 故选：C ‎【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型.‎ ‎4.过点且与直线平行的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可.‎ ‎【详解】直线的斜率为,故过点的直线方程为 ‎ 化简得 故选：C ‎【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型.‎ ‎5.已知为奇函数，则的一个取值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数在0处有定义时,化简得再观察满足的选项即可.‎ ‎【详解】由为奇函数知,显然,‎ 故,观察选项知的一个取值是 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.‎ ‎6.已知等差数列的前n项和为，，，当取最大值时n的值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列求和公式知,进而得出取最大值时n的值即可.‎ ‎【详解】因为,所以,即,又,‎ 故等差数列公差,当取最大值时n的值为4‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前项和的最大值问题,当 时取得前项和的最大值,属于基础题型.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,B举反例说明即可,C,D根据单调性进行分析即可.‎ ‎【详解】对A,当时,故A错误.‎ 对B, 当时,故B错误.‎ 对C, 则即成立,故C正确.‎ 对D,因为为增函数所以时,故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型.‎ ‎8.已知三棱锥A-BCD，点E、F、G分别是BC、AC、AD的中点，直线AB与CD所成的角为，则的大小是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像分析可得和直线AB与CD所成的角相等或者互补.‎ ‎【详解】由题得为的中位线,故∥,同理得∥,故AB与CD所成的角为与所成的角,又和直线与所成的角相等或者互补.‎ 即可能为或 故选：C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.‎ ‎9.已知双曲线，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的焦点在轴上,设,则渐近线方程为.又渐近线与双曲线相同,列出关于的关系式化简求离心率即可.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦点在轴上,故设,则渐近线方程为.‎ 又渐近线与双曲线相同为,即,故,‎ 故的离心率.‎ 故选：B ‎【点睛】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,双曲线离心率.属于基础题型.‎ ‎10.已知在中,， ，则三角形是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角、直角或钝角三角形都可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断三角形的形状求最大角的余弦值即可,利用余弦定理求解三边的关系,注意接近,故利用角的余弦定理结合进行的余弦值范围的判断即可.‎ ‎【详解】设中的对边分别为则 ‎ 因为,故,‎ 即.‎ 故 ‎ 即,故为钝角 故选：C ‎【点睛】本题主要考查解三角形中对三角形形状判断的应用,属于中等题型.‎ ‎11.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设底面半径为,母线长为,再分别表示出三部分的侧面积即可.‎ ‎【详解】设底面半径为,母线长为,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为 ‎,,‎ 故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为,‎ ‎,‎ 故侧面积比为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中的比例关系,注意设半径与母线长分别表示需要表达的量再求比值即可,属于基础题型.‎ ‎12.已知点是椭圆的右焦点，斜率为的直线过点并与椭圆交于A、B两点， 且满足,则的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可设直线倾斜角为,再根据焦半径公式与求出,进而算得的值即可.‎ ‎【详解】因为,所以离心率,设直线倾斜角为,由焦半径公式与得 ‎.‎ 故,即斜率 故选：B ‎【点睛】本题主要考查焦半径公式的运用,属于中等题型.‎ 二、填空题（共20分）‎ ‎13.已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是与的等比中项算出,再分两种情况计算圆锥曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】由是与的等比中项有,故.‎ 当时圆锥曲线方程,为焦点在轴的双曲线,其中,此时离心率 当时圆锥曲线方程,,为焦点在轴的椭圆,其中,此时离心率 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.‎ ‎14.设曲线在点处的切线方程为,则_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后代入即可算得在点处的切线斜率,与斜率相等,列式求得即可.‎ ‎【详解】由有,故在点处的切线斜率为,又切线方程为,故 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数的几何意义,在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率,属于基础题型.‎ ‎15.已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将合一变形算得的取值集合,再求即可.‎ ‎【详解】由得,‎ 故,即,故 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式与三角函数求值等,属于基础题型.‎ ‎16.如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题： ‎ ‎①四棱锥的体积恒为定值；‎ ‎②存在点，使得平面； ‎ ‎③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；‎ ‎④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.‎ 其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①,将四棱锥分成两部分与分析即可 对②,根据线面垂直的判定,注意用到再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.‎ 对③,举出反例即可.‎ 对④,四边形的周长,展开长方体分析最值即可.‎ ‎【详解】对①,,又三棱锥底面 不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.‎ 对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,‎ 故.要平面则只需,又,故只需面.‎ 又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.‎ 对③,当在时总有与平面相交,故③错误.‎ 对④,四边形的周长,分析即可.‎ 将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：‎ 文艺节目 新闻节目 总计 ‎20至40岁 ‎30‎ ‎18‎ ‎48‎ 大于40岁 ‎20‎ ‎32‎ ‎52‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎(1)用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？‎ ‎(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为大于40岁的概率．‎ ‎【答案】（1）2名；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据分层抽样的方法,用5乘以大于40岁的观众所占的比例即可.‎ ‎(2)用枚举法将所有可能的情况均列出来,再数出恰有1名观众的年龄为大于40岁的情况数,再利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】(1)大于40岁的观众中应抽取2名观众 ‎(2)设5名观众中20至40岁的观众3人分别为,大于40岁的2人分别为,‎ 则任取2名所有可能的情况有：‎ 共10种结果,‎ 每种结果发生的概率都是,是古典概型.‎ 抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含 共6个基本事件,‎ 设“在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为大于40岁”的事件为 则发生的概率 ‎【点睛】本题主要考查分层抽样以及基本的古典概型方法,属于基础题型.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 ‎(2)由,裂项相消后代入即可.‎ ‎【详解】解：(1)设数列的公差为,则 ‎,解得,,.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型.‎ ‎19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD，ABCD为正方形．且，M是SD的中点，于点N．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面SCD，即证；（2）先求出，再求的面积．‎ ‎【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD，∴．∵，，‎ ‎∴平面SAD．∵平面SAD，∴，‎ 又，M是SD的中点，∴，∵，‎ ‎∴平面SCD，∵平面SCD，∴．‎ ‎（2）∵M是SD的中点，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，，∴平面AMN，‎ ‎∴．∵，‎ ‎∴的面积．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆：，短轴长为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若已知点,求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意列出的关系求解即可.‎ ‎(2) 面积可以利用轴分割开的两个小三角形面积之和表示,或者以为底,到直线的距离为高求解.‎ ‎【详解】(1)由题意得,‎ 解得,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)方法1：由,消去x,得,‎ 判别式,‎ 设点,的坐标分别为,, ‎ 所以,‎ 所以的面积 方法2：由,消去y,得,‎ 判别式,‎ 设点,的坐标分别为,, ‎ 所以,‎ 又因为点到直线的距离,‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的基本量运算以及简单的直线与椭圆的位置关系求有关面积的问题,属于基本题型.‎ ‎21.已知函数,..‎ ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）若恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时无极值点, 当时,极大值点,无极小值点. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后分和进行讨论即可. (2)由题恒成立,故参变分离写成形式,分析函数单调性求最大值即可.‎ ‎【详解】(1)的定义域为,,‎ 当 时,,所以在上单调递增,无极值点,‎ 当时,解,得,解得,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以函数有极大值点,无极小值点.‎ ‎(2)由条件可得恒成立,‎ 则当时,恒成立,‎ 令,则,‎ 令,‎ 则当时,,所以在上为增函数.‎ 又,所以在上,；在上,.‎ 所以在上为减函数；在上为增函数.‎ 所以,所以.,故k的取值范围是.‎ ‎【点睛】(1)根据导函数是否有零点对参数进行分类讨论. (2)恒成立问题利用参变分离转化为最值的讨论问题,同时注意导函数如果不能直接判断在区间上的正负,则还需对导函数进行求导分析.本题属于综合题型.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于，两点，，求.‎ ‎【答案】(1) 直线的普通方程为.圆的直角坐标方程为.(2)12‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据所给的参数方程消去参数即可. (2)将参数方程改写成标准形式(为参数),再代入求得交点的对应的参数关系与韦达定理.再利用直线的参数方程的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】(1)将直线的参数方程消去参数,‎ 得直线的普通方程为.‎ 由,得,则圆的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将直线的参数方程变为(为参数),代入,得,则,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义,注意参数方程需写成标准的结构,参数才有几何意义.属于基础题型.‎ ‎23.已知函数，．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若有两个不同的解，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分,,三种情况进行去绝对值再写成分段函数分情况讨论即可. (2)画出的函数图像,数形结合判断有两个不同的解即与有两个交点时的取值范围即可.‎ ‎【详解】解：(1)由绝对值意义可得：,‎ ‎①当时,得：无解,‎ ‎②当时,,解得：,‎ ‎③当时,,解得：,‎ 综合①②③可得的解集为：；‎ ‎(2)若有两个不同的解,即的图象与直线有两个交点,‎ 当过点时,,‎ 当与中第一段重合时,‎ 结合图象可得．‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合的思想,属于中等题型.‎ ‎ ‎