2020版高中数学 第2章 数列 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

2020版高中数学 第2章 数列 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 ‎1.掌握等比数列前n项和的性质的应用.(重点) ‎2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(重点) ‎3.能用分组转化方法求数列的和.(重点、易错点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理　等比数列前n项和的性质 阅读教材P51练习B第2题及习题2－‎3A第6题，完成下列问题.‎ 等比数列前n项和的性质 性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列.‎ 性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ‎①Sn＋m＝Sn＋qnSm.‎ ‎②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q.‎ ‎③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.‎ ‎1.下列说法正确的是________.(填序号)‎ ‎(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.‎ ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.‎ ‎(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列.‎ ‎(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.‎ ‎【解析】　(1)错误.因为由等比数列前n项和的性质＝q，得q＝＝.‎ ‎(2)错误.因为由Sn＝＝－qn＋ 知在Sn＝a·3n－1－1＝·3n－1中＝1，故a＝3.‎ 9‎ ‎(3)正确.因为a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)，‎ 所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列.‎ ‎(4)错误.因为在等比数列中Sn，S2n－Sn，‎ S3n－S2n成等比数列，故S3，S6－S3，S9－S6成等比数列.‎ ‎【答案】　(3)‎ ‎2.已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________.‎ ‎【解析】　∵q＝＝＝＝，‎ ‎∴＝＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎3.等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.‎ ‎【解析】　法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，‎ S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，‎ 即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.‎ 法二：设数列{an}的首项为a1，公比为q，‎ 显然q≠1，则 由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得 ＝－，‎ 所以S15＝＝－×(1－43)＝210.‎ ‎【答案】　210‎ ‎[小组合作型]‎ 等比数列前n项和性质应用 ‎　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)‎ A.28　　B‎.32　‎　C.21　　D.28或－21‎ ‎(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.‎ ‎【精彩点拨】　(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解.‎ 9‎ ‎(2)利用 ＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解.‎ ‎【自主解答】　(1)∵{an}为等比数列，‎ ‎∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列.‎ 即7，S4－7,91－S4成等比数列，‎ ‎∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.‎ ‎∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2‎ ‎＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2.‎ ‎∴S4＝28.‎ ‎(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，‎ S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.‎ 则＝q＝3即S1＝3S2.‎ 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.‎ 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)24‎ ‎1.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0).‎ ‎2.等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).‎ ‎3.等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.‎ ‎4.若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}成等比数列.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.(1)等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________. ‎ ‎【导学号：18082037】‎ ‎【解析】　(1)根据题意得 ‎∴∴q＝＝＝2.‎ ‎(2)设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，所以 9‎ 所以或(舍去)，‎ 所以S4n＝30.‎ ‎【答案】　(1)2　(2)30‎ 分组求和法 ‎　已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【精彩点拨】　通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了.‎ ‎【自主解答】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝1＋＋＋…＋＝.‎ ‎(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…an ‎＝＋＋…＋ ‎＝n－＝(2n－1)＋.‎ 分组转化求和法的应用条件和解题步骤：‎ ‎(1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.‎ ‎(2)解题步骤 ‎[再练一题]‎ 9‎ ‎2.求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn.‎ ‎【解】　Sn＝2＋4＋6＋…＋ ‎＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋ ‎＝＋ ‎＝n(n＋1)＋－.‎ ‎[探究共研型]‎ 等差、等比数列的性质应用对比 探究1　已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝6，则an＝________；若将{an}改为等比数列，则an＝________.‎ ‎【提示】　法一：若{an}为等差数列，则解得a1＝－14，d＝4，所以an＝4n－18，‎ 若{an}为等比数列，则解得a1＝－6，q＝－1，所以an＝－6·(－1)n－1＝6(－1)n.‎ 法二：若{an}为等差数列，由6＝－6＋3d得d＝4，‎ 所以an＝－6＋(n－3)×4即an＝4n－18.‎ 若{an}为等比数列，由6＝(－6)·q3得q＝－1，所以an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.‎ 探究2　在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则a＋b＋c＝________，a·b·c＝________，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？‎ ‎【提示】　若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b＝4；‎ ‎1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a＝2，‎ c＝8，故a＋b＋c＝14，abc＝b3＝64；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求a＋b＋c及abc.‎ 探究3　若Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S2＝1，S4＝3，则S6＝________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？‎ ‎【提示】　若 {an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也为等差数列，即1,2，S6－3成等差数列，所以S6－3＋1＝4，则S6＝6；‎ 若{an}为等比数列，则1,2，S6－3成等比数列，所以S6－3＝4，则S6＝7.‎ ‎　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ 9‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【精彩点拨】　(1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d.‎ ‎(2)解决本小题关键是认识到＋＋…＋是数列{}的前n项和.求解时先利用“Sn与an的关系”求出{}的通项，再求出bn，进一步求和.‎ ‎【自主解答】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 解得 因此an＝2n－1，n∈N＋.‎ ‎(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋，‎ 当n＝1时，＝；‎ 当n≥2时，＝1－－＝.‎ 所以＝，n∈N＋.‎ 由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，‎ 所以bn＝，n∈N＋.‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋.‎ 两式相减，得 Tn＝＋－ ‎＝－－，‎ 所以Tn＝3－.‎ ‎1.本题对于＋＋…＋＝1－式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法.‎ 9‎ ‎2.求解数列综合问题的步骤 ‎(1)分析题设条件.‎ ‎(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系.‎ ‎(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用.‎ ‎(4)整理求解.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1).‎ ‎(1)求{an}的通项公式； ‎ ‎【导学号：18082038】‎ ‎(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.‎ ‎【解】　(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，‎ 两式相减，得 an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2).‎ 又∵a2＝2S1＋1＝3，‎ ‎∴a2＝‎3a1.‎ 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎∴an＝3n－1.‎ ‎(2)设{bn}的公差为d，‎ 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，‎ 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.‎ 又a1＝1，a2＝3，a3＝9，‎ 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.‎ 解得d1＝2，d2＝－10.‎ ‎∵等差数列{bn}的各项为正，‎ ‎∴d>0，∴d＝2.‎ Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.‎ ‎1.等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝(　　)‎ 9‎ A. B. C. D. ‎【解析】　当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.‎ ‎【答案】　C ‎2.数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. ‎【解析】　依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________. ‎ ‎【导学号：18082039】‎ ‎【解析】　法一：设公比为q(q≠0)，由题意知q≠－1，根据等比数列前n项和的性质，得＝＝1＋q3＝3，即q3＝2.‎ 于是＝＝＝.‎ 法二：因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，设S3＝m(m≠0)，则S6＝‎3m，所以‎4m2‎＝m(S9－‎3m)，解得S9＝‎7m，所以＝.‎ ‎【答案】　 ‎4.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.‎ ‎【解析】　法一：当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.‎ 由题意知{an}为等比数列，‎ ‎∴a1＝3＋k＝2，‎ ‎∴k＝－1.‎ 法二：由题意，{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，由a＝a‎1a3得18(3＋k)＝36，解得k＝－1.‎ ‎【答案】　－1‎ ‎5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值.‎ ‎【解】　由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4‎ 9‎ ‎，…成等比数列.‎ 由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，‎ 所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.‎ 9‎