2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步第1节空间几何体的结构特征三视图和直观图教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步第1节空间几何体的结构特征三视图和直观图教学案文北师大版

第8章 立体几何初步 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 本章内容在高考中一般为2道小题和1道解答题,分值约占22分.‎ ‎2.考查内容 高考基础小题主要考查几何体的三视图的识别,几何体表面积、体积的求解及线面角问题,与球有关的切接问题,解答题主要考查平行与垂直的关系和表面积、体积及点到平面距离的求法.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①应用线面、面面平行、垂直的判定定理、性质定理问题;‎ ‎②求几何体表面积、体积的计算问题;‎ ‎③线面角、点到平面距离的求法问题;‎ ‎④球与几何体的切接问题.‎ ‎(2)重视分类讨论、转化化归思想的应用.‎ 第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 ‎[最新考纲] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.‎ ‎(对应学生用书第121页)‎ ‎1.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 - 12 -‎ 球 半圆 直径所在的直线 ‎2.多面体的结构特征 ‎3.直观图 ‎(1)画法:常用斜二测画法.‎ ‎(2)规则:‎ ‎①在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x′轴和y′轴,两轴交于点O′,使∠x′O′y′=45°,它们确定的平面表示水平平面;‎ ‎②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段; ‎ ‎③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的.‎ ‎4.三视图 ‎(1)三视图的画法规则:‎ 主、俯视图长对正,主、左视图高平齐;俯、左视图宽相等,前后对应.‎ ‎(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题:‎ ‎①首先,确定主视、俯视、左视的方向,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.‎ ‎②其次,简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.‎ ‎1.特殊的四棱柱 - 12 -‎ ‎2.球的截面的性质 ‎(1)球的任何截面是圆面;‎ ‎(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;‎ ‎(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=.‎ ‎3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下:‎ S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. (  )‎ ‎(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. (  )‎ ‎(3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台. (  )‎ ‎(4)菱形的直观图仍是菱形. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)× (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.下列说法正确的是(  )‎ A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 D [根据斜二测画法的规则知,A,B,C均不正确,故选D.]‎ ‎2.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是(  )‎ A    B    C    D B [俯视图中显然应有一个被遮挡的图,所以内部为虚线,故选B.]‎ ‎3.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为(  )‎ - 12 -‎ A.2,2   B.2,2‎ C.4,2 D.2,4‎ D [由三视图可知,正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2,故底面边长为4,故选D.]‎ ‎4.如图所示,在三棱台A′B′C′ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余的部分是(  )‎ A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 B [如图所示,在三棱台A′B′C′ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,剩余部分是四棱锥A′BCC′B′.‎ ‎]‎ ‎(对应学生用书第122页)‎ ‎⊙考点1 空间几何体的结构特征 ‎ 空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个结论是错误的,只要举出一个反例即可 - 12 -‎ ‎ 1.下列结论正确的是(  )‎ A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B.六条棱长均相等的四面体是正四面体 C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台 B [底面是等边三角形,且各侧面三角形全等,这样的三棱锥才是正三棱锥,所以A错;斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形,所以C错;截面平行于底面时,底面与截面之间的部分才叫圆台,所以D错.]‎ ‎2.下列命题正确的是(  )‎ A.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.存在每个面都是直角三角形的四面体 C.直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 B [如图1所示,可排除A,如图2所示,正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC.四个面都是直角三角形,故B正确.‎ ‎  ‎ 图1        图2‎ 选项C中,应以直角腰所在直线为旋转轴,故C错.‎ 选项D中,只有截面与圆柱的母线平行或垂直,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分.故选B.]‎ ‎3.下列结论正确的是 (  )‎ A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 D [A错误.如图1所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.‎ - 12 -‎ 图1          图2‎ B错误.如图2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥.‎ C错误.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D正确.]‎ ‎ 把一摞书摆成长方体形状,沿一个方向轻轻一推,成为一个平行六面体,此时平行六面体有两个平行的面是矩形.‎ ‎⊙考点2 空间几何体的三视图 ‎ 已知几何体识别三视图 ‎ 识别三视图的步骤 ‎(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置;‎ ‎(2)根据三视图的有关定义和规则先确定主视图,再确定俯视图,最后确定左视图;‎ ‎(3)被遮住的轮廓线应为虚线,若相邻两个物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线;对于简单的组合体,要注意它们的组合方式,特别是它们的交线位置.‎ ‎ (1)(2019·武汉模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥ABCD的主视图、俯视图是(注:选项中的上图为主视图,下图为俯视图)(  )‎ A   B    C    D ‎(2)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )‎ - 12 -‎ ‎(1)A (2)A [(1)主视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.‎ ‎(2)由题意可知,咬合时带卯眼的木构件如图所示,其俯视图为选项A中的图形.]‎ ‎ 画三视图时,可先找出各个顶点在投影面上的投影,然后再确定连线在投影面上的实虚.‎ ‎ 已知三视图判断几何体特征 ‎ 由三视图确定几何体的步骤 ‎(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(  )‎ A.1 B.2    ‎ C.3     D.4‎ ‎(2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )‎ - 12 -‎ A.2 B.2 ‎ C.3 D.2‎ ‎(1)C (2)B [(1)在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C.‎ ‎(2)先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图1所示.‎ 图1          图2‎ 圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,‎ ‎∴MN===2.‎ 故选B.]‎ ‎ 有三条侧棱互相垂直的三棱锥、四棱锥,都可把它们放置在长方体或正方体中来解决问题.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎ 已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为________.‎  [由三视图知,该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中,截去一个三棱柱AA1D1BB1C1和一个三棱锥CBC1D后剩下的几何体,即如图所示的四棱锥DABC1D1,其中侧面ADD1的面积最小,其值为.]‎ - 12 -‎ ‎ 由三视图中的部分视图确定剩余视图 ‎ 由几何体的部分视图确定剩余视图的方法 解决此类问题,可先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入检验.‎ ‎ 如图是一个空间几何体的主视图和俯视图,则它的左视图为 (  )‎ A    B     C    D A [由主视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的,结合主视图的宽及俯视图的直径可知左视图应为A,故选A.]‎ ‎ 根据主视图和俯视图的长、宽,可知道左视图的长、宽.‎ ‎[教师备选例题]‎ 如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是 (  )‎ C [由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体,且其高为1,由其体积是,可知该几何体的底面积是,由选项图知A的面积是1,B的面积是,C的面积是,D的面积是 - 12 -‎ ‎,故选C.]‎ ‎ 1.如图1所示,是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2,若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为其主视图的是 (  )‎ A   B    C    D C [根据该几何体的直观图和俯视图知,其主视图的长应为底面正方形的对角线长,宽应为正方体的棱长,故排除B、D;而在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A.故选C.]‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(  )‎ A.10 B.12 ‎ C.14 D.16‎ B [观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.]‎ ‎⊙考点3 空间几何体的直观图 ‎1.用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y - 12 -‎ ‎′轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线.‎ ‎2.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:(1)S直观图=S原图形;(2)S原图形=2S直观图.‎ ‎ (1)[一题多解]已知等腰梯形ABCD,CD=1,AD=CB=,AB=3,以AB所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为(  )‎ A. B. ‎ C. D.2 ‎(2)如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是(  )‎ A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 ‎(1)C (2)C [(1)法一(作图求解):如图,取AB的中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,y轴交DC于点E,O,E在斜二测画法中的对应点为O′,E′,过E′作E′F′⊥x′轴,垂足为F′,‎ 因为OE==1,‎ 所以O′E′=,E′F′=.‎ 所以直观图A′B′C′D′的面积为 S′=×(1+3)×=,‎ 故选C.‎ 法二(公式法):由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S=×(1+3)×1=2.‎ - 12 -‎ 由S直观图=S原图形,‎ 得S直观图=×2=,故选C.‎ ‎(2)如图,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′=2×2=4(cm),CD=C′D′=2 cm.‎ 所以OC===6(cm),‎ 所以OA=OC,由题意得OA BC,故四边形OABC是菱形,故选C.]‎ ‎ 在画直观图或原图时,应先确定坐标轴上的点,非坐标轴上的点,应通过与x轴或y轴平行的线段来确定.‎ ‎ ‎ ‎1.如图所示,直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是________.‎ ‎2+ [把直观图还原,原平面图形如图所示:‎ 在直角梯形ABCD中,AB=2,BC=+1,AD=1,‎ 所以面积为(2+)×2=2+.]‎ ‎2.如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________cm.‎ ‎8 [由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,所以O′B′= cm,对应原图形平行四边形OABC的高为2 cm,所以原图形中,OA=BC=1 cm,AB=OC==3 cm,故原图形的周长为2×(1+3)=8 cm.]‎ - 12 -‎
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