2019-2020学年广东省阳春市第一中学高二上学期月考一数学试题 Word版

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阳春一中2019-2020学年第一学期高二月考一 数学科试题 ‎ 命题： 审题： ‎ ‎（全卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 一． 填空题（每小题5分，共12小题，满分60分，每题只有一个正确答案）‎ ‎1．设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在等差数列{an}中，（ ）‎ A．12 B．‎14 C．16 D．18‎ ‎3．在中，若，则角等于（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎4．已知数列满足 ，则（　　）‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎5．设， ， ，则， ， 的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量，，且，则的值是（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎7．己知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．如图是某学生在高三的五次月考考试成绩的分数茎叶统计图，该组数的平均数为，若从中任取2个数，则这2个数都大于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 m，则电视塔的高度为（ ）‎ A.m B‎.20 m C.m D‎.40 m ‎11．在中，角的对边分别是，若，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12.“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是 （ ）‎ ‎2017    2016    2015        5    4    3    2    1‎ ‎ 4033     4031        9    7    5    3 8064        16    12    8 ‎ ‎    28    20 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13.已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为______．‎ ‎14.如果三个数,,成等差数列,则x=_______．‎ ‎15.将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质____ __．（填入所有正确性质的序号） ①最大值为，图象关于直线x=-对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．‎ ‎16．点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值为2，则的值为______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17.（满分10分）我校举行知识竞赛答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；‎ ‎（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）.‎ ‎18．（满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．‎ ‎（1）求cosC的值；‎ ‎（2）若c=，求△ABC的面积．‎ ‎19. （满分12分）‎ 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.‎ ‎（1）求角C的大小； ‎ ‎（2）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积. ‎ ‎20. （满分分）‎ B A P E D C 第20题图 在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，‎ ‎∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点.‎ ‎（1）证明：平面EAB⊥平面PAC；‎ ‎（2）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，‎ 求三棱锥A−EBC的体积.‎ ‎21．（满分12分）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）已知，记四边形的面积为，求的最大值.‎ ‎22．（满分12分）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点. 以原点为圆心的圆与线段都相切.‎ ‎（1）求圆的方程及的值；‎ ‎（2）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.‎ 阳春一中2019-2020学年第一学期高二月考一 数学参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A B B C D A D D C B ‎4.本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，属于基础题.‎ ‎5．【解析】由单调增加，‎ 由单调减知，则，‎ 由单调增加，‎ ‎∵， ， ．∴．故选．‎ ‎6．【解析】因为，故即即，‎ 所以，故选C．‎ ‎7．【解析】∵函数图象经过点 ，∴函数的最大值为1，可得 ‎ 又∵函数的周期 ‎ ‎ 可得 因此函数解析式为： 再将点代入，得： ‎ 解之得 ，∴取 ‎ 所 的解析式是 故选D ‎8．由茎叶图，这组数的平均数为：87.4‎ 据此可得：满足题意的概率为：.本题选择A选项.‎ ‎9．∵，，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 则，故选D．‎ ‎10.【详解】‎ 由题意，设，则，‎ 在中，由余弦定理，得．‎ 化简得解得．即AB=‎40 m．故选D．‎ ‎11．∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，即.‎ 由于，∴.∵，‎ ‎∴.又，‎ 由余弦定理可得，∴.故选C.‎ 一、 ‎12解：由已知：数表的每一行从右至左都是一个等差数列, 第一行公差是1,第二行公差是2,第三行公差是4,依次类推,第2015行公差为, 所以第一行第一个数是,第二行第一个数为,第三行第一个数为, 依次类推,第n行第一个数为,第2017行只有一个数,为, 故选B． 填空题 ‎13. 14.4 15.②③④． 16．‎ ‎14.解：等差数列,,,, ‎ ‎, , 又,‎ ‎15【解：将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度， 得到y=cos[2（x+）+]-1=cos（2x+π）-1=-cos2x-1的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）=-cos2x 的图象． 对于函数g（x）： 它的最大值为，由于当x=-时，g（x）=，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=-对称，故排除①； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确； 它的最小正周期为=π，故③正确； 当x=时，g（x）=0，故函数的图象关于点（，0）对称，故④正确； 在（0，）上，2x∈（0，），g（x）不是单调函数，故排除⑤，‎ 三、解答题 ‎17.（满分10分）‎ 解：（1）由. …2分 解得 . …3分 ‎（2）学生成绩在之间的频率为0.05，. …4分 故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为人. …5分 ‎（3）平均分的估计值为：分. …8分 ‎18．（满分12分）‎ ‎（1）△ABC中，∵，∴sinB==………………2分 ‎∴………………4分 ‎=． …………………6分 （2） 由（Ⅰ）知 …………………8分 由正弦定理知：，∴，…………………10分 ‎∴． …………………12分 ‎19.解: (1)法一：由已知及余弦定理得，整理得. …2分 ‎， ………………3分 又在△ABC中，0＜C＜p， ………………4分 ‎∴，即角C的大小为. .………………5分 法二：由已知及正弦定理得，‎ 又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分 ‎ ∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC， ‎ 即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0， ………………3分 B A D C ‎∴，又0＜C＜p， ………………4分 ‎∴，即角C的大小为. .………………5分 ‎(2)由(1)，依题意得如图，在△ADC中，AC=b=，AD=，‎ 由正弦定理得， .………………7分 ‎∵在△ADC中，0＜＜p，C为钝角， ........………....………8分 ‎∴，故. .………………9分 ‎∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴, .……….……10分 ‎∴△ABC是等腰三角形，. .………………11分 故△ABC的面积. .…………….…12分 ‎20.解：(1)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，………1分 B A P E D C ‎∴∠BAD=∠ADC=120°. .…………........……2分 ‎∵ AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°， .……………….........3分 ‎∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120°−30°=90°，即AB⊥AC.…...........…4分 ‎∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，‎ ‎∴AB⊥平面PAC， ..........................………………...5分 又平面ABÌ平面EAB，‎ ‎∴平面EAB⊥平面PAC； ..........................……………...6分 ‎(2)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，‎ ‎∴AC= AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分 ‎∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC的边长为. ...……………8分 ‎∵E是PC的中点，∴S△EAC＝S△PAC＝. ………10分 O F B A P E D C ‎∴三棱锥A−EBC的体积为...……………12分 ‎(2)解法二：过P作PO⊥AC于点O，‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC， ‎ 过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，‎ ‎∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF， ………7分 又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故.‎ 由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，‎ ‎∴BC=2AB=2, AC= AB∙tan60°=, 即正△PAC的边长为, ………….........…8分 ‎∴PO=, 故EF=. .............................................................................….........9分 在Rt△ABC中，S△ABC＝. ….........………….........…10分 ‎∴三棱锥A−EBC的体积为. ...................12分 ‎21．（1）在中，，，‎ 由余弦定理得：………….2分 在中，，，‎ 由余弦定理得：……….4分 即：，解得：……….5分 ‎（2）在和中，由余弦定理得：‎ 整理可得：……………….7分 面积：………8分 即：‎ ‎………10分 即：………11分 当时，‎ 四边形面积的最大值为：………12分 ‎22．（1）由于圆与线段相切，所以半径.……………….1分 即圆的方程为.……………….2分 又由题与线段相切，‎ 所以线段方程为.即.……………….3分 故直线的方程为.‎ 由直线和圆相切可得：，‎ 解得或.由于为不同的点，所以. ……………….5分 ‎（2）设.‎ 则，.……………….6分 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，‎ 都有为常数,‎ 等价于对圆上任意点恒成立.‎ 即.‎ 整理得.……….7分 因为点在直线上，所以.‎ 由于在圆上，所以.……………….8分 故对任意恒成立.…………9分 所以.……………….10分 显然，所以故，‎ 因为，解得或.……………….11分 当时，，此时重合，舍去.‎ 当时，，‎ 综上，存在满足条件的定点，此时.……………….12分