2018-2019学年福建省莆田第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版
福建省莆田第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)
命题：胡云贵 审题：备课组
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
3．设x∈R，则“1
0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
7．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是( )
A B C D
8．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
9．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
10．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是
.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
A. B. C. D.
11．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
12．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数 m＝________.
14．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝ .
15．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，下列2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
有 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．附：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
K2＝
16．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．
19．(12分)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
20．(12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：
21．(12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
22．(12分)已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
CAADC BACCA AA
5 99% 1 008
17【解析】y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝.
列表
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8.
∴最大值为8.
18【解析】(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
19解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入ρ2＝2ρcos θ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)将(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
20解：(1)由题意知n＝10，
＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝0.3，
＝－0.3＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
21解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
22【解析】（1）
①当时，，令，即，解得，
令，即，解得，
所以当，在上递增，在上递减．
②当时，， 在上递增．
③当时，，令，
令，
所以当时，在上递增，在上递减．
综上所述：当，在上递减，在上递增；
当时， 在上递增；
当时，在上递减，在上递增．
（2）由（1）得当时，，
，得．当时，满足条件．
当时，
，
，又因为，所以．
综上所述，的取值范围是．
22(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集.其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?
参考答案
BCAAB DDBDB BC
3 [-4,4]
17解:设房子的长为x m,宽为y m,总造价为z元,则xy=12,
z=3×x×1 200+3×y×800×2+5 800
=1 200(3x+4y)+5 800
≥1 200×2+5 800
=34 600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).
故最低总造价是34 600元.
18解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,
得解得
所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.
(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.
因为Sn=-(n-5)2+25,
所以当n=5时,Sn取得最大值.
19解:如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10,∠ABC=120°.
由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos 120°,
即700=100+BC2+10BC,得BC=20.
设B船速度为v,行驶时间为(小时),路程为BC=20海里,则有v==15(海里/时),
即B船的速度为15海里/时.
20解:(1)因为,
所以(2c-b)·cos A=a·cos B.
由正弦定理,得(2sin C-sin B)·cos A=sin A·cos B,
整理得2sin C·cos A-sin B·cos A=sin A·cos B.
所以2sin C·cos A=sin (A+B)=sin C.
在△ABC中,01时,=a1++…+
=1-
=1-.
∴Sn=.
当n=1时,S1=1也符合该公式.
综上可知,数列的前n项和Sn=.
22解:设片集甲播放x集,片集乙播放y集,
则有
要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.
由得M(2,4).
由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.
故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.
