【数学】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（文）

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学试题（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( ) ‎ A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限 ‎2．已知集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{y|y＝}，则A∩B＝( ) ‎ A．[1，2） B．（0，2） C．[0，2） D．[0，+∞）‎ ‎3．已知函数，则＝ ( )‎ A． B． C．﹣log32 D．log32‎ ‎4．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则α∥β”是“m∥β”的 ( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为 ( )‎ A．45 B．60 C．75 D．100‎ ‎6．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为 ( )‎ A．B． C．D．‎ ‎7．为得到函数y＝cos（2x+）的图象，只需将y＝sin2x的图象 ( )‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是 ( )‎ A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲 ‎ C．乙应出的税钱约为32 D．丙付的税钱最少 ‎9．若，则cos（3﹣2α）＝ ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上为增函数，且f（）＝0，则不等式f（logx）＞0的解集为 ( )‎ A．（，2） B．（ 2，+∞） ‎ C．（ 0，）∪（ 2，+∞） D．（，1 ）∪（ 2，+∞）‎ ‎11．已知函数f（x）＝x2+mx+2，x∈R，若方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ( )‎ A．（1，2） B．（1，4） C．[2，+∞] D．[4，+∞]‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设等差数列的前n项和为，，，则 ‎ ‎14．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝　 　．‎ ‎15．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝　 　．‎ ‎16．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为　 　．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100 名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为，，…….‎ ‎（I）估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；‎ ‎（II）现从评分在的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在的概率.‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且b＝．‎ ‎（I）当A＝时，求△ABC的面积S；‎ ‎（II）若△ABC的面积为S，求S的最大值．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，在四边形中，，，，，，.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）求B点到平面的距离 ‎20．（12分）焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）若点M为OF2的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OP|2＝|MA|•|MB|；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（I）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；‎ ‎（II）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为，定点M（6，0），点N是曲线C1上的动点，Q为MN的中点．‎ ‎（I）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（II）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C2的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣3|‎ ‎（I）若a＝﹣1，解不等式；‎ ‎（II）若存在实数x，使得成立，试求a的取值范围．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1-5:DBAAB 6-10:BABDC 11-12:CB ‎ ‎13．． 14.5 15．2． 16．5π ‎17．解：（1）由题意，该地区用户对该电讯企业评分的频率分布如下表：‎ 评分 频率 ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.20‎ ‎0.28‎ ‎0.24‎ ‎0.18‎ 因此可估计评分不低于70分的概率为；对该电讯企业评分的中位数设为x，可得，则，解得，‎ 所以可估计对该电讯企业评分的中位数为；‎ ‎（2）受调查用户评分在的有人，若编号依次为1，2，3，4，从中选2人的事件有、‎ ‎、、、、，共有个基本事件；‎ 受调查用户评分在的有人，若编号依次为1，2，3，..9，10，从中选2人，‎ 可得共有个基本事件；因此2人评分都在的概率.‎ ‎18．解：△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，三内角A、B、C成等差数列，‎ 则：A+C＝2B，解得：B＝60°．‎ ‎（1）因为：＝⇒a＝．‎ ‎∴b2＝a2+c2﹣2accosB⇒3＝2+c2﹣2c×⇒c2﹣c﹣1＝0⇒c＝，（负值舍）；‎ ‎∴△ABC的面积S＝acsinB＝×××＝．‎ ‎（2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB；‎ 即：3＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立；‎ ‎∴S△ABC＝acsinB＝ac≤；即S的最大值为：．‎ ‎19解：（1）在平面中，，，，则，又，‎ ‎∴，即，又平面，则，又，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（2）在平面中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，‎ 因为，，，则,又因为，,所以.‎ 所以 又，则，所以,在中，‎ ‎.‎ 因为,则面,所以；由 可知：，,‎ 所以，则，因此P点到平面的距离为.‎ ‎20．解：（1）由已知可得，，a2＝b2+c2，解得，b＝c＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）若直线的斜率不存在时，|OP|＝2，，所以；‎ 当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，‎ 所以．因为OP∥l，设直线OP的方程为y＝kx，‎ 联立直线OP与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2＝8，解得．‎ ‎∴，∴，‎ 同理，∴|MA|•|MB|＝（1+k2）|（x1﹣1）（x2﹣1）|，‎ 因为，‎ ‎∴，‎ 故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件．‎ ‎21．（1）解：因为，所以，‎ ‎＝，‎ ‎（ⅰ）当﹣a≤0即a≥0时，所以x+a＞0，且方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有一根，‎ 故g（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数，‎ ‎（ⅱ）当﹣a＞0即a＜0时，‎ 所以方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同根或两相等根，‎ ‎（ⅰ）当a＝﹣1时，g（x）在（0，+∞）上是减函数；‎ ‎（ⅱ）当a＜﹣1时，由g'（x）＞0得1＜x＜﹣a，‎ 所以g（x）在（1，﹣a）上是增函数；在（0，1），（﹣a，+∞）上是减函数；‎ ‎（ⅲ）当﹣1＜a＜0时，由g'（x）＞0得﹣a＜x＜1，‎ 所以g（x）在（﹣a，1）是增函数；在（0，﹣a），（1，+∞）上是减函数；‎ ‎（2）证明：因为，令，则，‎ 因为，所以，‎ 即h（x）在（0，+∞）是增函数，‎ 下面证明h（x）在区间上有唯一零点x0，‎ 因为，h（2a）＝ln2a+1，‎ 又因为，所以，，‎ 由零点存在定理可知，h（x）在区间上有唯一零点x0，‎ 在区间（0，x0）上，h（x）＝f'（x）＜0，f'（x）是减函数，‎ 在区间（x0，+∞）上，h（x）＝f'（x）＞0，f'（x）是增函数，‎ 故当x＝x0时，f（x）取得最小值，‎ 因为，所以，‎ 所以＝，‎ 因为，所以f（x）＞0，所以，f（x）＞0．‎ ‎22．解：（1）∵曲线C1的方程为，‎ ‎∴4＝36，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为，‎ 设点N（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得，‎ 代入中，‎ 得到点Q的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝3．‎ ‎（2）P点坐标为P（，0），设l的参数方程为，（t为参数），‎ 代入曲线C2的直角坐标方程，得：，‎ 设点A，B，D对应的参数分别为t1，t2，t3，‎ 则，∴|PD|＝|t3|＝||＝．‎ ‎23．解：（1）若a＝﹣1，则f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，‎ 得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式显然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，‎ 得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，‎ 得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．‎ 综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；‎ ‎（2）不等式f（x）≤﹣即|x﹣a|﹣|x﹣3|≤﹣．‎ ‎|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|＝﹣|a﹣3|，‎ 若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，若a＝3，等号成立当且仅当x∈R，‎ 若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．‎ ‎∴﹣|a﹣3|≤﹣，即|a﹣3|≥，若a≥3，则（a﹣3）≥，解得a≥6．若a＜3，则﹣（a﹣3）≥，解得a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．‎ 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．‎