2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题

江苏省泰州中学 2017-2018 学年度高二第一学期期中考试 数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.命题“对任意 x R ，都有 2 0x ≥ ”的否定为 ． 2.已知直线 y kx 是曲线 xy e 的切线，则实数 k 的值为 ． 3.已知函数 2log 1( ) 1 x xf x x c x     ， ， ， ， ≥ 则“ 1c   ”是“函数 ( )f x 在 R 上递增”的 ． 4.已知圆柱的底面半径为 4 ，用与圆柱底面成 30 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该 椭圆的离心率为 ． 5.双曲线 2 2 14 x y  的顶点到其渐近线的距离等于 ． 6.已知条件 p ：| 1| 2x   ，条件 q ： x a ，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范 围是 ． 7.函数 ln xy x  的单调增区间是 ． 8.一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为 O ， F 为圆内一定点， 6cmOF  ， M 为圆周上任意 一点，把圆纸片折叠，使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设 CD 与 OM 交于 P 点（如图），以 FO 所在直线为 x 轴，线段 FO 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系， 则点 P 的轨迹方程为 ． 9.已知双曲线 2 2 164 36 x y  的焦点 1F 、 2F ，点 P 在双曲线上，且 1 2PF PF ，则 1 2PF F△ 的面 积为 ． 10.已知点 P 在曲线 siny x 上， a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值范围 是 ． 11.过点 (1 1)， 与曲线 2( ) 2f x x x  相切的直线方程是 ． 12. 1F ， 2F 分别是双曲线 C ： 2 2 2 2 1x y a b   （0， 0b  ）的左、右焦点， B 是虚轴的端点，直 线 1F B 与C 的两条渐近线分别交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M ，若 2 1 2| | | |MF F F ，则 C 的离心率是 ． 13.已知椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  ，T 为圆 O ： 2 2 2 3x y  上一点，过点T 作圆 O 的切线 交椭圆 E 于 A 、 B 两点，则 AOB△ 面积的取值范围是 ． 14.已知函数 24 7( ) 2 xf x x   ，函数 3 2( ) 3 2g x x a x a   ，（ 1a≥ ），若对任意 1 [0 1]x  ， ，总 存在 0 [0 1]x  ， ，使得 0 1( ) ( )g x f x 成立，则 a 的取值范围是 ． 二、解答题 （本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. 已知：命题 p ： 2 2 11 3 x y m m    表示双曲线， 命题 q ：函数 3 21 1( ) 13 2f x x mx x    在 R 上单调递增. （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 取值范围； （2）若命题 p 和命题 q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围. 16.已知函数 3 2( )f x x bx cx d    的图象经过点 (0 2)P ， ，且在点 ( 1 ( 1))M f ， 处的切线 方程为 6 7 0x y   . （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）求函数 ( )y f x 的单调区间. 17.若椭圆 2 2 1ax by  与直线 1x y  交于点 A ，B ，点 M 为线段 AB 的中点，直线 OM（O 为原点）的斜率为 2 . （1）求 a b 的值； （2）若 OA OB ，求 a 、 b 的值. 18.如图，江的两岸可近似地看出两条平行的直线，江岸的一侧有 A ， B 两个蔬菜基地，江 岸的另一侧点 C 处有一个超市.已知 A 、B 、C 中任意两点间的距离为 20千米，超市欲在 AB 之间建一个运输中转站 D ， A ， B 两处的蔬菜运抵 D 处后，再统一经过货轮运抵 C 处，由 于 A ，B 两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同.如果从 A 处出发的运输费为每千米 2 元. 从 B 处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米 3元. （1）设 ADC   ，试将运输总费用 S （单位：元）表示为 的函数 ( )S  ，并写出自变量 的取值范围； （2）问中转站 D 建在河处时，运输总费用 S 最小？并求出最小值. 19. 已知点 P 是椭圆 C 上任一点，点 P 到直线 1l ： 2x   的距离为 1d ，到点 ( 1 0)F  ， 的距 离为 2d ，且 2 1 2 2 d d  .直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A 、 B （ A ， B 都在 x 轴上方），且 180OFA OFB     . （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l 方程； （3）对于直线 l ，是否存在一个定点，无论 OFA 如何变化，直线 l 总经过此定点？若存在， 求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 已知 3 2( ) 3 1f x ax x   （ 0a  ），定义 ( ) ( ) ( )( ) max{ ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) f x f x g xh x f x g x g x f x g x     ，， ， ≥ . （1）求函数 ( )y f x 的极值 （2）若 ( ) ( )g x xf x ，且存在 [1 2]x ， 使 ( ) ( )h x f x ，求实数 a 的取值范围； （3）若 ( ) lng x x ，试讨论函数 ( )y h x （ 0x  ）的零点个数. 江苏省泰州中学 2017-2018 学年度高二年级第一学期期中考 试 数学参考答案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.存在 0x R ，使得 2 0 0x  2. e 3.充分不必要 4. 1 2 5. 2 5 5 6. 1a≥ 7. (0 )e， 8. 2 2 125 16 x y  9.36 10. 30 4 4            ， ， 11. 2 0x y   或 5 4 1 0x y   12. 6 2 13. 2 2 3 2       ， 14. 31 2a≤ ≤ 二、解答题 15.解：（1）∵命题 p 为真命题 ∴ ( 1)( 3) 0m m   ，解得 3 1m   ∴实数 m 的取值范围为 ( 3 1) ， . （2）当命题 q 为真命题时有 2( ) 1 0f x x mx    ≥ 恒成立 ∴ 2 4 0m △ ≤ ，解得 2 2m ≤ ≤ 若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，则有 3 1 2 2 m m m        或 解得 3 2m    ； 若命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，则有 3 1 2 2 m m m   或≤ ≥ ≤ ≤ 解得1 2m≤ ≤ . 故所求实数 m 的取值范围为 ( 3 2) [1 2]  ， ， . 注：若第（2）小题得结果 2 2m   ，而以下推理均正确，则总共扣 3 分. 16.解：（1）由 ( )y f x 的图象经过点 (0 2)P ， ，知 2d  ， ∴ 3 2( ) 2f x x bx cx    ， 2( ) 3 2f x x bx c    . 由在点 ( 1 ( 1))M f ， 处的切线方程为 6 7 0x y   ， 知 6 ( 1) 7 0f     ，即 ( 1) 1f   ， ( 1) 6f    . ∴ 3 2 6 1 2 1 b c b c         ， ，即 2 3 0 b c b c       ， ， 解得 3b c   . 故所求的解析式是 3 2( ) 3 3 2f x x x x    . （2） 2( ) 3 6 3f x x x    令 ( ) 0f x  ，得 1 2x   或 1 2x   ； 令 ( ) 0f x  ，得1 2 1 2x    . 故 3 2( ) 3 3 2f x x x x    的单调递增区间为 ( 1 2) ， 和 (1 2 )  ， 单调递减区间为 (1 2 1 2) ， . 17.解：（1）由 2 2 1 1 x y ax by      消去 y ，得 2( ) 2 1 0a b x bx b     . 当 24 4( )( 1) 4( ) 0b a b b a b ab       △ 时， 设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ，则 1 2 2bx x a b    ， 1 2 1bx x a b   . 弦 AB 的中点坐标为 b a a b a b       ， . ∴OM 所在直线斜率 2a b  ① （2）∵ OA OB ，即 1 2 1 2 1 2 1 2(1 )(1 )OA OB x x y y x x x x        1 2 1 2 2( 1) 2 22 ( ) 1 1 1 0b bx x x x a b a b a b             得： 2a b  ② 由①②得： 4 2 2a   ， 2 2 2b   . 满足不等式 24 4( )( 1) 4( ) 0b a b b a b ab       △ . ∴ 4 2 2a   ， 2 2 2b   . 18.解：在 ACD△ 中，由正弦定理知 sin sin sin CD AC AD CAD ADC ACD     ，则 20 2sinsin sin3 3 CD AD           ， 则 10 3 sinCD  ， 20 2sinsin 3AD        . 所以 20 2 30 3 10 3(cos 3)2 3 2 sin 20 30sin 3 sin sinS AD BD CD                  . 即 10 3(cos 3)( ) 90sinS     ， 2 3 3       ， . （2） 2 10 3( 3cos 1)( ) 90sinS       ， 2 3 3       ， 令 0 1cos 3    ， 0 2 3 3       ， 当 03 a     ， 时， 1cos 3    ， ( ) 0S   ； 当 0 2 3a      ， 时， 1cos 3    ， ( ) 0S   ， 所以当 0a  时， ( )S  取最小值， 此时 0 2 2sin 3   ， 0 10 3(cos 3)( ) 30 20 6 30sinS       ， 0 10 3 15 6sin 2CD   . 答：中转站 D 建在 C 处 15 62 千米处时，运输总费用最小的为 20 6 30 元. 19.解：设 ( )P x y， ，则 1 | 2|d x  ， 2 2 2 ( 1)d x y   ， 2 2 2 1 ( 1) 2 | 2 | 2 x yd d x    ， 化简得： 2 2 12 x y  . ∴椭圆 C 的方程为： 2 2 12 x y  （2）解：∵ (0 1)A ， ， ( 1 0)F  ， ， ∴ 1 0 10 ( 1)AFk    ， 180OFA OFB     ， ∴ 1BFk   ， BF ： 1( 1) 1y x x      代入 2 2 12 x y  ，得： 23 4 0x x  ， ∴ 0x  ，或 4 3x   ，代入 1y x   得 0 1 x y     （舍），或 4 3 1 3 x y      ∴ 4 1 3 3B    ， 11 13 4 20 3 ABk         ，∴ AB ： 1 12y x  （3）证明：由于 180OFA OFB     ，所以 B 关于 x 轴的对称点 1B 在直线 AF 上.设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ， 1 2 2( )B x y， 设直线 AF 方程： ( 1)y k x  ，代入 2 2 12 x y  ，得： 2 2 2 21 2 1 02k x k x k        ， 2 1 2 2 2 1 2 kx x k     ， 2 1 2 2 1 1 2 kx x k   ， 1 2 1 2 AB y yk x x   ， AB ： 1 2 1 1 1 2 ( )y yy y x xx x    ， 令 0y  ，得 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 x x x y x yx x y y y y y      ， 1 1( 1)y k x  ， 2 2( 1)y k x  ，   2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 22 1 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 22( 1) 1 2 2 1 2 k k k kx y x y x k x x k x x x x xx ky y k x k x x x k                        ∴直线 l 总经过定点 ( 2 0)M  ， 20.解：（1）∵函数 3 2( ) 3 1f x ax x   ， ∴ 2( ) 3 6 3 ( 2)f x ax x x ax     令 ( ) 0f x  ，得 1 0x  或 2 2x a  ，∵ 0a  ，∴ 1 2x x ，列表如下： x ( 0) ， 0 20 a      ， 2 a 2 a      ， ( )f x  0  0  ( )f x  极大值  极小值  ∴ ( )f x 的极大值为 (0) 1f  ，极小值为 2 2 2 2 8 12 41 1f a a a a          . （2） 3 2( ) ( ) 3 6g x xf x ax x   ，∵存在 [1 2]x ， 使 ( ) ( )h x f x ， ∴ ( ) ( )f x g x≥ 在 [1 2]x ， 上有解，即 3 2 3 23 1 3 6ax x ax x  ≥ 在 [1 2]x ， 上有解，即不等 式 1 32a x x ≤ 在 [1 2]x ， 上有解， 设 2 3 3 1 3 3 1xy x x x    （ [1 2]x ， ），∵ 2 4 3 3 0xy x     对 [1 2]x ， 恒成立， ∴ 3 1 3y x x   在 [1 2]x ， 上单调递减，∴当 1x  时， 3 1 3y x x   的最大值为 4 . ∴ 2 4a≤ ，即 2a≤ . （3）由（1）知， ( )f x 在 (0 ) ， 上的最小值为 2 2 41f a a       ， ①当 2 41 0a   ，即 2a  时， ( ) 0f x  在 (0 ) ， 上恒成立， ∴ ( ) max{ ( ) ( )}h x f x g x ， 在 (0 ) ， 上无零点. ②当 2 41 0a   ，即 2a  时， min( ) (1) 0f x f  ，又 (1) 0g  ， ∴ ( ) max{ ( ) ( )}h x f x g x ， 在 (0 ) ， 上有一个零点. ③当 2 41 0a   ，即 0 2a  时，设 3 2( ) ( ) ( ) 3 1 lnx f x g x ax x x       （ 0 1x  ）， ∵ 2 1 1( ) 3 6 6 ( 1) 0x ax x x xx x         ，∴ ( )x 在 (0 1)， 上单调递减， 又 (1) 2 0a    ， 2 3 2 1 2 3 0a e e e e         ，∴存在唯一的 0 1 1x e     ， ，使得 0( ) 0x  . Ⅰ.当 00 x x ≤ 时， ∵ 0( ) ( ) ( ) ( ) 0x f x g x x   ≥ ，∴ ( ) ( )h x g x 且 ( )h x 为减函数， 又 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ln ln1 0h x f x g x x     ， (0) 1 0f   ， ∴ ( )h x 在 0(0 )x， 上有一个零点； Ⅱ.当 0x x 时 ∵ 0( ) ( ) ( ) ( ) 0x f x g x x     ，∴ ( ) ( )h x g x 且 ( )h x 为增函数. ∵ (1) 0g  ，∴ ( )h x 在 0( )x  ， 上有一个零点； 从而 ( ) max{ ( ) ( )}h x f x g x ， 在 (0 ) ， 上有两个零点. 综上所述，当 0 2a  时， ( )h x 有两个零点；当 2a  时， ( )h x 有一个零点； 当 2a  时， ( )h x 有无零点.