2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练15+导数与函数的小综合
课时规范练15 导数与函数的小综合
基础巩固组
1.函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是( )
A.(-∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
2.(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b>0,c>0,d<0
B.a>0,b>0,c<0,d<0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d>0
3.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )
A.0 B.2
C.-4 D.-2
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),若f'(x)
f(e2)e B.f(2)9<f(3)4
C.f(2)e2>f(e)4 D.f(e)e2<f(3)9〚导学号21500522〛
7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.0,12
C.(0,1) D.(0,+∞)
8.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是 .
9.(2017河北保定二模,理16)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图像是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且任意x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是 .
10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
11.(2017山东泰安一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为g(x)的导函数,对任意x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)0,且对任意x∈(0,+∞),2f(x)0,则不等式xf(x+1)>f(2)的解集为 .
创新应用组
15.(2017安徽淮南一模)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:
①y=-x3+x+1;
②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=1-ex;
④f(x)=lnx(x≥1),0(x<1).
其中“H函数”的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0〚导学号21500524〛
16.(2017安徽合肥一模)已知函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,则a的取值范围是 .
参考答案
课时规范练15 导数与函数
的小综合
1.D 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)是增加的,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.C 由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;f'(x)=3ax2+2bx+c,
且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.
3.B 因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系可知m+n=-(-6)3=2.
4.A ∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x+1)=f(3-x)=f(x-3),
∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.
∵f(2 019)=f(-1)=f(1),
∴f(1)=2.
设g(x)=f(x)ex,
则g'(x)=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex<0,
故函数g(x)是R上的减函数.
∵不等式f(x)<2ex-1等价于f(x)ex<2e,即g(x)1,
即不等式f(x)<2ex-1的解集为(1,+∞),故选A.
5.B 函数f(x)=exx的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f'(x)=xex-exx2,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减少的,当x>1时,函数是增加的,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=exx<0,选项D不正确,选项B正确.
6.B ∵xf'(x)+2f(x)=1x2,
∴x2f'(x)+2xf(x)=1x,
令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=1x>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内是增加的.
∴g(2)=4f(2)c>b ∵方程f'(x)=0无解,
∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,
∴f(x)是单调函数;
由题意得任意x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,
且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2 015x是定值.
设t=f(x)-log2 015x,则f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函数.
又0c>b.故答案为a>c>b.
10.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F(x)=f(x)x,
则F'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,
∴当x>0时,F(x)=f(x)x是减少的.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)内,F(x)>0;
在(1,+∞)内,F(x)<0,即当00;
当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
11.(-∞,-1) ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图像过原点.
∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图像过点(-1,5).
令h(x)=g(x)-x2-4,∴h'(x)=g'(x)-2x.∵对任意x∈R,总有g'(x)>2x,
∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,
∴g(x)1时,g'(x)>0,函数g(x)是增加的,
∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.
∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=f(x)的图像,如图所示,
当f(x)=2时,方程的两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.
13.B 令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),
则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x3.
∵任意x∈(0,+∞),2f(x)0,∴函数g(x)在(0,+∞)内是增加的,
∴f(1)1<f(2)4,又f(x)>0,
∴f(1)f(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),则h'(x)=xf'(x)-3f(x)x4.
∵任意x∈(0,+∞),2f(x)f(2)8.
又f(x)>0,
∴18<f(1)f(2).
综上可得18f(2)⇔h(x)>h(1),即|x|>1,解得x>1或x<-1.
15.B 根据题意,对于x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),
则有f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,
即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,
分析可得,若函数f(x)为“H函数”,则函数f(x)为增函数或常数函数.
对于①,y=-x3+x+1,有y'=-3x2+1,不是增函数也不是常数函数,则其不是“H函数”;
对于②,y=3x-2(sin x-cos x),有y'=3-2(sin x+cos x)=3-22sinx+π4,易知y'>0,
y=3x-2(sin x-cos x)为增函数,则其是“H函数”;
对于③,y=1-ex=-ex+1,是减函数,则其不是“H函数”;
对于④,f(x)=lnx(x≥1),0(x<1),当x<1时,f(x)是常数函数,当x≥1时,f(x)是增函数,则其是“H函数”.
故“H函数”有2个,故选B.
16.23,1 由题意设g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),
则g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)内是减少的,在(0,2)内是增加的,
且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+3×22=4.
在同一个坐标系中画出两个函数图像如图所示.
因为存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),
所以由图得x0=2,
则a>0,g(2)>h(2),g(1)≤h(1),
即a>0,4>4a,-1+3≤3a,解得23≤a<1,
所以a的取值范围是23,1,故答案为23,1.