2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期期中考试 数学 word版

2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期期中考试 数学 word版

泉港一中2021届高二年（上）期中考试卷（数学）‎ ‎（范围：直线、圆、圆锥曲线）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．‎ ‎2．过圆的圆心，且斜率为的直线方程为 A． B． C． D．‎ ‎3．抛物线的准线方程是 A． B． C． D．‎ ‎4．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 A． B． C． D．‎ ‎5．已知点（）到直线的距离为，则等于 A． B． C． D．‎ ‎6．设，则直线与圆的位置关系为 A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 ‎7．两圆与的公共弦长 A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则 A．6 B．4 C．2 D．1‎ ‎9．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知是椭圆的一个焦点，直线与交于两点，则的周长的取值范围为 A．　　　　 B．　　　　　C．　　　　　D．‎ ‎12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上．在中，若，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．椭圆的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________．‎ ‎14．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．‎ ‎15．设直线与圆相交于两点，，则实数的值是__________．‎ ‎16．已知双曲线的中心是坐标原点，以的焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点．若劣弧所对的圆心角等于，则的离心率为__________．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，应写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求边上高所在的直线方程．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知椭圆的焦点为和，长轴长为，设直线交椭圆C于两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求弦的中点坐标及．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 在直角坐标系中，已知圆．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标，及半径；‎ ‎（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且，求使得取得最小值时的点的坐标．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 已知抛物线上的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21．（本小题12分）‎ 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点 且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，直线经过点且与椭圆 相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．‎ ‎22．（本小题12分）‎ 坐标平面内，轴的右侧动点到点的距离比它到轴的距离大，记的轨迹为．‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）曲线的左右焦点分别是，，过的直线分别与曲线交于点和，若与面积分别是，求的取值范围．‎ ‎2021届高二年（上）期中考试卷（数学）‎ 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A ‎ C A C B D B B D C D A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎11． 解析：记椭圆的另一个焦点为，则四边形为平行四边形（如图所示），的周长等于，又，故的周长取值范围．‎ ‎12．解析：由题意得，准线，，，‎ 过作，垂足为，则由抛物线定义可知，‎ 于是，‎ 在上为减函数，‎ 当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，．‎ ‎16．解析：如图，设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，由题意，可知，故，所以．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解析：（1）由两点式直线方程得的方程为，‎ ‎．……………………………………………………………………………5分 ‎（说明：其他解法参照给分，答案对就给5分）‎ ‎（2）直线的斜率为，…………………………………………………………………7分 ‎∴直线斜率为．……………………………………………………………………8分 由点斜式得方程为 ， 整理得．…………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为．…………………1分 已知，……………………………………………………………………………3分 又…………………………………………………………………………………4分 得，…………………………………………………………………………………………5分 故椭圆的标准方程．…………………………………………………………6分 ‎（2）设， 的中点为 ‎ 消去得．…………………………………………………8分 故，， ……………………………………………………………10分 则，， ‎ 弦AB的中点坐标为．………………………………………………………………11分 ‎．…………………………………………………………………6分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）依题意，…………………………………………………2分 故圆心坐标为……………………………………………………………………………4分 半径．………………………………………………………………………………………6分 ‎（2）依题意，设，有，………………8分 变形可得，则在直线上，……………………………9分 分析可得，若最小，只需过点向作垂线，…………………………11分 与的交点即为要求的点，联立可得，‎ 解可得，即的坐标为．………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）由抛物线的定义得，，解得，………………………………3分 所以抛物线的方程为，代入点，可解得．………………………6分 ‎（2）设直线的方程为，，，………………………8分 联立，消元得，则，………………………10分 由，可得，所以或（舍去），‎ 即，解得，所以直线的方程为，‎ 所以直线过定点．…………………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）将x＝c代入方程中，由a2﹣c2＝b2可得，‎ 所以弦长为．………………………………………………………………………………2分 所以………………………………………………………………………………4分 解得．………………………………………………………………………………………5分 所以椭圆C的方程为：．…………………………………………………………6分 ‎（2）若直线l的斜率不存在，则直线的方程为x＝2， ‎ 直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7分 设直线l的斜率为k，若k＝0，则直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0；‎ 所以直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，．……………………………8分 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：‎ 消去y得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k＝0， ‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，．………………………………………9分 ‎∵‎ ‎∴k1+k2＝+＝‎ ‎＝‎ ‎＝＝2k﹣，……………………10分 把代入上式，‎ 得．……………………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解析：（1） 依题意， 轴的右侧动点到点的距离与到定直线的距离相等，…1分 故的方程为．………………………………………………………………………3分 ‎（2）依题意，……………………………………………………………………4分 ‎①当不垂直于轴时，设的方程是，‎ 联立，得， ，…5分 设， ，则， ；…6分 联立得： ，‎ ‎ ，…………………………………7分 设， ，‎ 则， ，…………………………………………………8分 ‎，……………………………………9分 ‎（或）‎ 则，……………………………………………10分 ‎②当垂直于轴时，易知， ，此时………11分 综上有的取值范围是．………………………………………………………12分 ‎（设相应给分；用其他方法的相应给分）‎