陕西省西安市一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

陕西省西安市一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试 高二数学试题（理）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1.复平面内表示复数的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，进而可得出该复数在复平面内对应的点所在的象限.‎ ‎【详解】因为复数，它在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2. 关于综合法和分析法说法错误的是（ ）‎ A. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法 C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法 D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分析法和综合法的概念可得出合适的选项.‎ ‎【详解】选项A成立，选项B和C是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执果索因法，正确．选项D不符合定义，排除D选项.‎ 故选：D. ‎ ‎【点睛】本题考查对分析法和综合法概念的理解，属于基础题.‎ ‎3. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(　　)‎ A 三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 矩形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.‎ ‎【详解】根据题意 ，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要是考查了类比推理的运用，属于基础题．‎ ‎4.在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步应验证等于（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数学归纳法第一步应验证n最小时，命题是否成立.‎ ‎【详解】多边形的边数最少是3，即三角形，所以第一步应验证等于3.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤，考查学生对数学归纳法的理解，是一道容易题.‎ ‎5.已知，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概率公式计算可得结果 ‎【详解】由条件概率公式得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数在上单调递增 B. 函数的递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的图象写出的单调区间即可.‎ ‎【详解】由图可知：‎ 在和上单调递减，‎ 在和上单调递增 所以在处取得极小值 故选：D ‎【点睛】本题考查的是利用导数的图象得的单调性和极值点，较简单.‎ ‎7.设函数f，则定积分等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式结合定积分公式可求得的值.‎ ‎【详解】，因此，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.‎ ‎【详解】函数，则，‎ 令代入上式可得，则，‎ 所以，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.‎ ‎9.若，则　　‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数，组合数的公式，求得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，‎ 即，解得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎10.函数在区间上最小值为( )‎ A. 72 B. ‎36 ‎C. 12 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据给出的函数求出导函数；再令，求出单调递增区间，再令，求出单调递减区间，确定出函数上的单调性，从而求出最小值.‎ ‎【详解】解：，令，即 解得 当时，‎ 当时，‎ ‎∴，‎ 而端点的函数值，，得．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.‎ ‎11.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种．‎ 故选D.‎ ‎12.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求导公式和法则求出f′（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．‎ ‎【详解】解：由题意得，f′（x），‎ 因为在[1，+∞）上是单调函数，‎ 所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，‎ ‎①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，‎ 即a，设g（x），‎ 因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，‎ 当1时，g（x）取到最大值是：0，‎ 所以a≥0，‎ ‎②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，‎ 即a，设g（x），‎ 因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，‎ 当时，g（x）取到最大值是：，‎ 所以a，‎ 综上可得，a或a≥0，‎ 所以数a的取值范围是（﹣∞，]∪[0，+∞），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13.在的展开式中，的系数与的系数之和等于___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理求出展开式中的系数与的系数，相加即可得出结果.‎ ‎【详解】由的展开式通项公式可知的项为，的项为，‎ ‎，因此，的系数与的系数之和等于.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令和，再将两个等式相加可求得的值.‎ ‎【详解】令，则；‎ 令，则.‎ 上述两式相加得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.定积分____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义即可求出．‎ ‎【详解】令，则（x1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，‎ 所以表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎16.用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.‎ ‎【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，‎ 由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.‎ ‎17.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，求出的最大值即可求出参数的取值范围；‎ ‎【详解】解：因为的定义域为，且函数在上单调递增，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令 当时 所以即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎18.用数学归纳法证明：‎ ‎．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照数学归纳法的步骤证明即可.‎ 详解】证明（1）当时，左边，右边，命题成立．‎ ‎（2）假设时，命题成立，即．‎ 则当时，‎ ‎．‎ 所以当时，命题成立．‎ 综合（1）（2）可知，原命题成立．‎ ‎【点睛】本题考查利用数学归纳法证明恒等式，考查学生对数学归纳法的理解与掌握，是一道容易题.‎ ‎19. 袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子．‎ ‎（1）求得分的分布列；‎ ‎（2）求得分大于6的概率．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定随机变量的可能取值，并计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列；‎ ‎（2）根据题意得出，进而可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为、、、.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎（2）根据的分布列，可得到得分大于的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的列举，同时也考查了事件概率的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数，，若在处与直线相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的极值．‎ ‎【答案】（1） （2）极大值为，无极小值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；‎ ‎（2）利用导函数判断在上的单调性，于是可求得极值.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎∵函数在处与直线相切，‎ ‎∴，即，解得；‎ ‎（2）由（1）得：，定义域为．‎ ‎，‎ 令，解得，令，得．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在上的极大值为，无极小值．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，比较基础.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.‎ 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎ ‎