2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考 高二文科数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设为虚数单位,则复数 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“所有4的倍数都是2的倍数，某数是4的倍数，故该数是2的倍数”上述推理（ ）‎ A．小前提错误 B．结论错误 C．大前提错误 D．正确 ‎3．给出以下四个说法：‎ ‎①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；‎ ‎④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．‎ 其中正确的说法是 A．①④ B．②④ C．①③ D．②③‎ ‎4．下面的散点图与相关系数一定不符合的是( )‎ A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）‎ ‎5．下列求导数运算正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．顶点在原点，对称轴为轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆的长轴为，为椭圆的下顶点，设直线,的斜率分别为,，且，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于,两点，则的面积的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若关于的方程在区间 内有两个实数解，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若命题，则_________________‎ ‎14．已知复数，则___________‎ ‎15．已知抛物线的准线为，与双曲线的渐近线分别交于,两点．若，则______‎ ‎16．已知函数 ，若，则的取值范围是______．‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17（10分）．学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如下：‎ 损坏餐椅数 未损坏餐椅数 总 计 学习雷锋精神前 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ 学习雷锋精神后 ‎30‎ ‎170‎ ‎200‎ 总 计 ‎80‎ ‎320‎ ‎400‎ ‎(1)求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？‎ ‎(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？‎ 参考公式：,.‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18（12分）．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎19（12分）．已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）直线交抛物线于两点，求弦长.‎ ‎20（12分）．设函数 ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）求函数在区间上的最小值.‎ ‎21（12分）．已知椭圆的离心率为，长轴长为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线交椭圆于两点为椭圆的右焦点，自点分别向直线作垂线，垂足分别为，记的面积为，求的最大值及此时直线的方程．‎ ‎22（12分）．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，若对任意的,恒成立，求整数的最大值.‎ 高二文科数学期中考试参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算即可 ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法运算,熟记运算律是关键,是基础题 ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由4是2的倍数直接判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为“所有4的倍数都是2的倍数”成立，若某数是4的倍数，‎ 不妨设该数为，则，即该数为2的倍数成立.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三段论推理，属于基础题。‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据联表独立性检验的知识判断④是否正确.‎ ‎【详解】‎ 残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②‎ 正确.回归直线方程斜率为故解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，即③正确.越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图与相关系数r的定义，结合题意判断正误即可.‎ ‎【详解】‎ 对于（1），变量x，y的散点图从左向右是下降的，所以相关系数r<0，（1）错误；对于（2），变量x，y的散点图从左向右是上升的，所以相关系数r>0，（2）正确；对于（3），变量x，y的散点图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数r<0，（3）错误；对于（4），变量x，y的散点图从左向右是上升的带状分布，所以相关系数00．令，‎ ‎，‎ 令得，‎ 为函数的极小值点，‎ 又关于的方程=在区间内有两个实数解，‎ 所以，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定求解。‎ ‎【详解】‎ 因为命题：为特称命题，‎ 所以：，都有 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数进行运算化简，最后求出模。‎ ‎【详解】‎ ‎= ‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考的必考点，复数的四则运算、模的求法是常见的题型，解决的关键就是掌握复数四则运算的法则及复数求模的公式。‎ ‎15．8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求抛物线准线方程以及渐近线方程，解得交点坐标，再根据|AB|=4，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 抛物线y2=2px（p＞0）的准线为：x=，‎ 双曲线的两条渐近线方程为y=±x，‎ 可得A（，），B（，），‎ 由|AB|==4，得p=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线准线方程以及渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出函数的图象，由数形结合，确定a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如图所示：‎ 因为直线恒过，若，则直线与的图像相切是临界位置，‎ 当时，，，，故当时，此时，‎ 当时，，，，故当时，此时，‎ 综上，a的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的应用，导数的几何意义和数形结合的思想，属于中档题．‎ ‎17．（1）；初步判断损毁座椅减少与学习雷锋精神有关；（2）有97.5%的把握认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表中数据可直接得出学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比；进而可初步判断出结果；‎ ‎(2)由表中数据代入，求出的观测值，结合临界值表即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 学习雷锋精神前座椅的损坏的百分比是:，‎ 学习雷锋精神后座椅的损坏的百分比是: ，‎ ‎ 因为二者有明显的差异,所以初步判断损毁座椅减少与学习雷锋精神有关. ‎ ‎(2)根据题中的数据计算： ，‎ 因为，所以有97.5%的把握认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎18．（1）；（ 2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析: (1)第(1)问, 先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程 . (2)第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间.‎ 试题解析:‎ ‎，，，所以切点为（0，-2），‎ ‎∴切线方程为，一般方程为；‎ ‎（2），‎ 令，解得或，‎ ‎∴的单调递减区间为和.‎ ‎19．（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；‎ ‎（Ⅱ）设，，由消去，得，‎ 则，，‎ 所以 ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.‎ ‎20．（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）定义域为，，由得，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），由得，‎ ‎∴在上单调递减，在（1，2）上单调递增，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.‎ ‎21．（Ⅰ）；（Ⅱ）S的最大值为及此时直线l的方程或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由题意可得，则，由，可得，可得，即可求出椭圆方程，‎ Ⅱ设，，由，消x可得，根据韦达定理和三角形的面积，结合基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ由题意可得，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 椭圆M的方程为；‎ Ⅱ由Ⅰ可得，设，，由题意可得，‎ ‎，‎ 由，‎ 消x可得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 点F为到直线的距离，‎ 的面积为，‎ 令，则，‎ ‎，当且仅当时，即时取等号，‎ 故S的最大值为及此时直线l的方程或．‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了椭圆的概念和基本性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，基本不等式，韦达定理等知识，属于中档题．‎ ‎22．（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）若a≤0，则f（1）＝﹣a+1＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减．由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围．‎ ‎（3）由（2）可知，当a＝1时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，则ex﹣xlnx+x﹣1≥ex﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明ex﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明ex﹣xlnx+x＞0．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数 f（x）＝（a∈R ）．‎ ‎∴，x＞0，‎ 当a＝0时，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ 当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x，‎ 令f′（x）＜0，解得：x，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．‎ ‎（2）当时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．‎ 若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．‎ ‎∴，又f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g(-1)=1，‎ g(-2)=<0，∴a时，g (a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴整数的最大值-2．‎