数学理卷·2018届陕西省黄陵中学（普通班）高三下学期第一次大检测（2018

数学理卷·2018届陕西省黄陵中学（普通班）高三下学期第一次大检测（2018

‎2018届陕西省黄陵中学（普通班）高三下学期第一次大检测数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的实部为 （ ）‎ ‎ A．　 B．　 C．－　 D．－‎ ‎2.集合 ,则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知“”，且“”，则“”是“”的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.若的展开式中的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.函数的大致图象为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为 A. B. C. D.‎ ‎10. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为 A． B． C． D． ‎ ‎11.已知，两直角边，是内一点，且，‎ 设，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：‎ ‎①； ②；③；④.其中为“三角形函数”的个数是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第 Ⅱ 卷 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎（13）若，且，则的最小值是__________‎ ‎（14）若，则 +−+…+的 值为 ‎ ‎（15）已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为___________‎ ‎（16）已知外接圆的半径为1，且.若，则的最大值为__________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，记数列的前项和为．证明：．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：‎ 分组 频数 ‎18‎ ‎49‎ ‎24‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?‎ ‎（Ⅱ）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点， ，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线过定点.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 设函数f(x)=ax2+b，其中a,b是实数.‎ ‎(Ⅰ)若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)求实数a, b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x, y，都有f(x)+f(y)≥f(x)f(y)成立.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值不小于，求的最大值；‎ ‎（2）若的最小值为，求的值.‎ 参考答案 CAAB DCBA BBAC ‎13. 4 14. -1 15.48 16. 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎17.解：（I）当时，有，解得.‎ 当时，有，则 ‎ ‎ 整理得： ‎ ‎ 数列是以为公比，以为首项的等比数列．‎ ‎ ‎ 即数列的通项公式为：． ……………………………6分 ‎（II）由（I）有，则 ‎ ‎ ‎ 易知数列为递增数列 ‎ ，即. ………………………………………12分 ‎18.解：（I）由直方图知：，有，‎ 由频数分布表知：，有．‎ ‎ 甲公司的导游优秀率为：；‎ 乙公司的导游优秀率为：；‎ 由于，所以甲公司的影响度高． ………………………4分 ‎（II）甲公司年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 故甲公司导游的年平均奖金（万元）． ……8分 ‎（III）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故的可能取值为，易知：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望为：． …………12分 ‎19.【答案】证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取的中点为，连接，，结合条件可证得平面，于是 ‎，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．‎ 试题解析：‎ 证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，‎ ‎∵为等边三角形，‎ ‎∴.‎ 在底面中，可得四边形为矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵平面面，， ‎ ‎∴平面，‎ 由此可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎∵直线与平面所成角为，即，‎ 由，知，得.‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为.‎ 由，得．‎ 令，则．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得．‎ 令，则，‎ ‎∴ ，‎ 由图形知二面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，‎ 因此椭圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为.‎ 由，消去得.‎ 设，，则，.‎ 直线的斜率 ；‎ 直线的斜率 .‎ ‎ .‎ 由的平分线在轴上，得.又因为，所以，‎ 所以.‎ 因此，直线过定点.‎ ‎21.解：(1)由题， f[f(x)]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，记t=x2‎ 当ab>0时，二次函数的对称轴<0, ‎ 显然当时，不符合题意，所以，‎ 所以当时，f[f(x)]取到最小值，即有 从而 ，解得； ‎ ‎(2)∵ ，即，且，‎ ‎∴ ，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即. ‎ 令，则要恒成立，‎ 需要，此时在上是增函数，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以实数a,b满足的条件为 ‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，‎ 把，代入上述方程得，，‎ ‎∴的方程为.‎ 令，，‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由得，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由得.‎ 而，∴.‎ 而，∴或.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，‎ 解得，即.‎ ‎（2）.‎ 当时，，，所以不符合题意.‎ 当时，，即，‎ 所以，解得.‎ 当时，同法可知，解得.‎ 综上，或.‎