湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第四次月考试题（11月）文科数学

湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第四次月考试题（11月）文科数学

衡阳市 2020届第四次月考文科数学 一、单选题 ‎1．已知命题,总有,则为 A．,使得 B．,使得 C．,总有 D．,总有 ‎2．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（　　）‎ A．n≥999 B．n＜9999 C．n≤9999 D．n<999‎ 5. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：‎ 临界值参考: ‎ ‎（参考公式：，其中）‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”‎ ‎ B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”‎ ‎ C．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”‎ ‎ D．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”‎ ‎6．在△ABC中，已知向量与满足，且，则△ABC为（）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎8.元代数学家朱世杰在‎《‎算学启蒙‎》‎中提及如下问题：今有银一秤一斤十两‎(1‎秤=10斤,1斤=10两‎)‎,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半‎.‎”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银‎(‎   ‎‎)‎ A. ‎266‎‎127‎两 B. 两 C. ​两 D. 两 ‎9．设，设函数，则当变化时，函数的零点个数可能是（ ）‎ A.1个或2个 B.1个或3个 C.2个或3个 D.1个或2个或3个 ‎10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为　　‎ A．， B． C．， D．‎ ‎12．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心撇函数”，点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心撇函数”，且满足不等式 ‎，当时，的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题 13． 已知复数，则 ‎14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,,则p的值为______．‎ ‎ 15.在‎△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则‎△ABC的面积为______．‎ ‎16．如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当P在CC1上时，AP=_______,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_______. ‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，函数，且当，时，的最大值为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调递减区间；‎ ‎（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.‎ ‎18．已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19．在四棱锥中，,，，为中点，为中点，为中点,．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎（Ⅰ）求出，的普通方程.‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求的最大值并求出此时点的坐标；‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 衡阳市 2020届第四次月考文科数学 一、单选题 ‎1．已知命题,总有,则为 A．,使得 B．,使得 C．,总有 D．,总有 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，‎ 因此为,使得，‎ 故选A.‎ ‎2．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面涂有颜色，有8种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，‎ 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有8种结果，所以所求概率为．‎ 故选：B．‎ ‎3．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，又，所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 又因为，又，所以 ‎ 所以，又因为，故只需向右平移个单位长度.‎ 故选A.‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（　　）‎ A．n≥999 B．n＜9999 C．n≤9999 D．n<999‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果：，当时计算的值，此时再确定判断框的内容.‎ ‎【详解】‎ 由图可得：，则，所以 ‎，因为此时需退出循环，所以填写：.‎ 故选：B.‎ 5. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：‎ 临界值参考: ‎ ‎（参考公式：，其中）‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”‎ ‎ B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”‎ ‎ C．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”‎ ‎ D．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”‎ ‎【答案】A 由公式，‎ 有99.9%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；即在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”，故选A.‎ ‎6．在△ABC中，已知向量与满足，且，则△ABC为（）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:,的角平分线与BC垂直,, 三角形为等腰直角三角形,故选D．‎ ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由题意可知,渐近线方程为，由，，,故 答案选A.‎ ‎8.元代数学家朱世杰在‎《‎算学启蒙‎》‎中提及如下问题：今有银一秤一斤十两‎(1‎秤=10斤,1斤=10两‎)‎,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半‎.‎”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银‎(‎   ‎‎)‎ A. ‎266‎‎127‎两 B. 两 C. ​两 D. 两 ‎【答案】D ‎【解答】 解：一秤一斤十两共120两,将这5人所得银两数量由小到大记为数列‎{an}‎,则‎{an}‎是公比q=2‎的等比数列,于是得,解得, 故得银最少的3个人一共得银数为(两‎)‎． 故选D．‎ ‎9．设，设函数，则当变化时，函数的零点个数可能是（ ）‎ A.1个或2个 B.1个或3个 C.2个或3个 D.1个或2个或3个 ‎【答案】D ‎【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况：‎ ‎10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.‎ 设，得，对比得，‎ ‎，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎，因此，，故选：D.‎ ‎11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为　　‎ A．， B． C．， D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 定义在上的函数，，‎ ‎，‎ 令，则为偶函数 ‎，又当时，，‎ ‎，在，为增函数，且在为减函数 不等式 即解得，故选．‎ ‎12．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心撇函数”，点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心撇函数”，且满足不等式，当时，的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由知此函数为增函数.‎ 由函数是关于的“中心撇函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递增，‎ 于是得，.‎ ‎，.‎ 则问题转化为在线性约束条件下，求的取值范围。‎ 易得故选：A.‎ 二、 填空题 13． 已知复数，则 ‎【答案】​‎ ‎【解答】‎ ‎，‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,,则p的值为______．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解答】 解：抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的准线为l：x=-‎p‎2‎, 双曲线的两条渐近线方程为, 可得, 则,可得． 故答案为．‎ ‎ 15.在‎△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则‎△ABC的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】 解：在‎△ABC中,, ‎∴‎由余弦定理得,则, ,‎∴‎由正弦定理得, ‎ ‎16．如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当P在CC1上时，AP=_______,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_______. ‎ ‎【答案】,.‎ ‎【详解】‎ 取，的中点分别为，连结，‎ 由于，所以四点共面，且四边形为梯形，‎ 因为，所以面，‎ 因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：‎ 因为正方体的边长为3，所以 当点P在CC1上时，点P为CC1的中点N，‎ 又，‎ 所以梯形为等腰梯形，所以。‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，函数，且当，时，的最大值为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调递减区间；‎ ‎（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【详解】（1）函数 ‎，‎ 得.‎ 即，由题意得 ‎，‎ 得 所以，函数的单调减区间为.‎ ‎（2）由题意，‎ ‎，‎ 又，得 解得：或 即或 或故所有根之和为.‎ ‎18．已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1） ，‎ 由及得，‎ 则数列是首项，公差的等差数列，所以． ‎ ‎（2）由（1）得 ，‎ 则 ‎19．在四棱锥中，,，，为中点，为中点，为中点,．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ 解析：（1）因为为的中点，为中点，则在中，∥，平面, 平面, 则∥平面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设椭圆的标准方程为为，‎ 由题，.即,‎ ‎∴椭圆C的方程为.‎ ‎(2)直线AD与直线BD的斜率之积为定值，且定值为 由题易知 当直线AB的斜率不存在时，，‎ 易求 当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为，‎ 设 联立可得 ‎，‎ 则 故直线AD与直线BD的斜率之积为定值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）函数的定义域为，.‎ 当时，，函数在区间上单调递减，‎ 此时，函数无极值；‎ 当时，令，得，‎ 又当时，；当时，.‎ 所以，函数在时取得极小值，且极小值为.‎ 令，即，得.‎ 综上所述，实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，问题等价于，‎ 记，‎ 由（1）知，在区间上单调递减，‎ 所以在区间上单调递增，所以，‎ ‎①当时，由可知，，‎ 所以成立；‎ ‎②当时，‎ 设 恒成立，所以在区间上单调递增，‎ 所以在区间上单调递增，所以.‎ 所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.‎ ‎③当时，显然在区间上单调递增，‎ 记，则，当时，，‎ 所以，函数在区间上为增函数，即当时，‎ ‎.‎ ‎，由于，显然 设 ‎，，‎ 由②可知在区间上单调递增 所以在区间内，存在唯一的，使得，‎ 故当时，，即当时，，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎22．已知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎（Ⅰ）求出，的普通方程.‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求的最大值并求出此时点的坐标；‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ 则 ‎，又 则 ‎（Ⅱ）方法一：（利用椭圆的参数方程）‎ 设椭圆 则点到曲线的距离：‎ 当 此时，‎ 所以 方法二：（利用平行相切）‎ 设 联立方程组 由，得 则直线都和椭圆相切 则即为直线的距离 即 此时，‎ 则，故点 ‎23．已知函数.‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）当时，，‎ 当时，，得，无实数解；‎ 当时，，得所以；‎ 当时，，得恒成立，得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（II）时，恒成立，‎ 等价于在恒成立.‎ 等价于，即在恒成立.‎ 即时，，‎ 因为时，，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎