专题13-2 热点题型一 极坐标与直角坐标的互化-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

专题13-2 热点题型一 极坐标与直角坐标的互化-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

热点题型一 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标互化是高考的必考点，解题要抓住公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习应以基础知识、基本方法为主，常见问题归纳如下；‎ 类型一 极坐标与直角坐标的互化 类型二 极坐标方程的简单应用 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．极坐标系与点的极坐标 ‎(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，‎ 这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称 为点M的极角．‎ ‎2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ρ2＝x2＋y2 ‎ tan θ＝(x≠0)‎ ‎3．圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)‎ ‎4.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b.‎ 类型一 极坐标与直角坐标的互化 ‎【典例1】【2015课标1理23】在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（Ⅰ）因为 所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ‎ ‎【考点】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系的弦长问题。‎ ‎【思路点拨】本题第一问考查直线圆的方程化为极坐标方程，代入公式化简即可得到。 ‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2015高考广东理14】已知直线的极坐标方程为，点的极坐标 为 ，则点到直线的距离为 .‎ 【答案】．‎ ‎【考点】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．‎ ‎2.【2015高考安徽理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.‎ ‎3．【2017衡水金卷】在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y－2＝0，‎ 圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径等于2的圆．‎ 联立解得 故直线和圆的交点坐标为(，1)，化成极坐标为.‎ ‎【考点】极坐标方程与普通方程的转化；‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 极坐标与直角坐标的互化方法 ‎1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．‎ ‎2．极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．‎ 类型二 极坐标方程的简单应用 ‎【典例1】【2015课标1理23】在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（Ⅰ）因为， ‎ 所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，‎ 解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎【考点】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系的弦长问题。‎ ‎【思路点拨】本题第一问考查直线圆的方程化为极坐标方程，代入公式化简即可得到，属于基础题．第二问求三角形面积，由直线与圆的关系作图，转化为求弦长及高的问题，可转化为直角坐标求解，也可用极坐标求解两种方法。‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B 两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：.‎ 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎2.【2017银川一中模拟】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与 极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎3.【2017兰州模拟】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标 是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎【答案】见解析 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎4.【2017衡水金卷】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)由ρcos＝1，得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎5.【2017南京模拟】在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．‎ ‎【答案】见解析 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 解决与极坐标有关的问题的主要方法 ‎1．直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．‎ ‎2．转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎