2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　2 第2讲　两直线的位置关系

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　2 第2讲　两直线的位置关系

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，则a的值是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．－2‎ C. D．－ 解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，‎ 所以直线l1的斜率等于－2，即＝－2，‎ 所以a＝，故选C.‎ ‎2．(2020·金华十校联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.‎ ‎3．(2020·义乌模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0‎ 解析：选D.由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．‎ 又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.‎ ‎4．已知点A(－1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为(　　)‎ A．15 B. C．6 D. 解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，‎ kAB＝＝，‎ 所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．‎ 即2x＋y－5＝0.‎ 令y＝0，则x＝，即P点的坐标为，‎ ‎|AB|＝＝2.‎ P到AB的距离为|PM|＝＝.‎ 所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.‎ ‎5．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)‎ A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.‎ ‎6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)‎ A．(5，＋∞) B．(0，5]‎ C．(，＋∞) D．(0， ]‎ 解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．故选D.‎ ‎7．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．‎ 解析：由题意可得两点间的距离d＝‎ ＝≥，即最小值为.‎ 答案： ‎8．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．‎ 解析：在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，‎ 则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax＋4y＋b＝0上．因为易知P′1(1，－1)、P′2(－1，0)，‎ 所以所以b＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2020·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．‎ 解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是 解得所以m＋n＝.‎ 答案： ‎10．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．‎ 解析：动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，‎ 动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3，过定点B(1，3)．‎ 因为此两条直线互相垂直，‎ 所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，‎ 所以10≥2|MA|·|MB|，‎ 所以|MA|·|BM|≤5，‎ 当且仅当|MA|＝|MB|时取等号．‎ 答案：5‎ ‎11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求b的取值范围；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．‎ 解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，‎ 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，‎ 因为a2≥0，所以b≤0.‎ 又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.‎ 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．‎ ‎(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，‎ 显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，‎ 当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.‎ ‎12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.‎ ‎(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；‎ ‎(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．‎ 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ 所以＝3，解得λ＝或λ＝2.‎ 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．‎ 所以dmax＝|PA|＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·温州八校联考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝(　　)‎ A．－6或－2 B．－6‎ C．2或－6 D．－2‎ 解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，因为M∩N＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.‎ ‎2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 解析：选A.由题意知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.‎ 又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，‎ 所以d2＝＝＝＝－2c，‎ 而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤.‎ ‎3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________．‎ 解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.‎ 答案：6x－8y＋1＝0‎ ‎4．(2020·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．‎ 解析：因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．‎ 要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.‎ 答案：5 ‎5．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明：l1与l2相交；‎ ‎(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ 证明：(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.‎ 此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．‎ ‎(2)由方程组 解得交点P的坐标(x，y)为 而2x2＋y2＝2＋＝＝1.‎ 即P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)因为点B与A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．‎ 设点P的坐标为(x，y)．‎ 由题意，得·＝－，‎ 化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．‎ 故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．‎ ‎(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．‎ 则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，‎ 直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．‎ 令x＝3，得yM＝，yN＝.‎ 于是△PMN的面积 S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝.‎ 又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，‎ 点P到直线AB的距离d＝.‎ 于是△PAB的面积 S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|.‎ 当S△PAB＝S△PMN时，‎ 得|x0＋y0|＝.‎ 又|x0＋y0|≠0.‎ 所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.‎ 因为x＋3y＝4，所以y0＝±.‎ 故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.‎ 法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN.‎ 因为sin∠APB＝sin∠MPN，‎ 所以＝，所以＝，‎ 即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.‎ 因为x＋3y＝4，所以y0＝±.‎ 故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.‎